Encontre o vetor perpendicular ao plano determinado pelos vetores \vec{a}=(1,2,-1) e \vec{b}=(-3,1,4).

Passo 1

O enunciado pede um vetor perpendicular ao plano determinado pelos vetores \vec{a}=(1,2,-1) e \vec{b}=(-3,1,4). Esse é um problema de produto vetorial em \mathbb{R}^3, pois \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a ambos.

Passo 2

Pela definição do produto vetorial em coordenadas, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b} =\bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1\bigr).

Passo 3

Aqui a_1=1, a_2=2, a_3=-1, b_1=-3, b_2=1, b_3=4. Logo,
\vec{a}\times\vec{b} =\bigl(2\cdot4 - (-1)\cdot1,\;(-1)\cdot(-3) - 1\cdot4,\;1\cdot1 - 2\cdot(-3)\bigr).

Passo 4

Calculemos cada componente:
primeira: 2\cdot4 - (-1)\cdot1 = 8 + 1 = 9,
segunda: (-1)\cdot(-3) - 1\cdot4 = 3 - 4 = -1,
terceira: 1\cdot1 - 2\cdot(-3) = 1 + 6 = 7.

Resposta

Um vetor perpendicular ao plano é
(9,\,-1,\,7).

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