Dados os pontos A(-1,0,-1), B(1,4,5), C(3,-6,2) e D(-4,4,4). Calcule:
a) O vetor \overrightarrow{B D}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}-3(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{D C})
b) O versor de \overline{B A}.
c) Verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1,0,-1), B(1,4,5), C(3,-6,2) e D(-4,4,4) e pede:
a) calcular o vetor \overrightarrow{BD}=\tfrac12\overrightarrow{BC}-3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC});
b) determinar o versor de \overline{BA};
c) verificar se A,B,C,D são coplanares usando produto misto.

Passo 2

Para a parte (a), primeiro obtemos
\overrightarrow{BC}=C-B=(3-1,\,-6-4,\,2-5)=(2,\,-10,\,-3),
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-1),\,4-0,\,5-(-1))=(2,\,4,\,6),
\overrightarrow{DC}=C-D=(3-(-4),\,-6-4,\,2-4)=(7,\,-10,\,-2).

Passo 3

Ainda em (a), calculamos
\tfrac12\overrightarrow{BC}=(1,\,-5,\,-\tfrac32), \quad \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=(-5,\,14,\,8), \quad -3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})=(15,\,-42,\,-24).
Somando,
\overrightarrow{BD}=(1+15,\;-5-42,\;-\tfrac32-24)=(16,\,-47,\,-\tfrac{51}{2}).

Passo 4

Para (b), temos
\overrightarrow{BA}=A-B=(-1-1,\,0-4,\,-1-5)=(-2,\,-4,\,-6).
Seu módulo é
\|\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.
O versor é
\widehat{BA}=\frac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|} =\Bigl(-\tfrac{2}{2\sqrt{14}},\,-\tfrac{4}{2\sqrt{14}},\,-\tfrac{6}{2\sqrt{14}}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Passo 5

Para (c), escolhemos A como origem e formamos
\overrightarrow{AB}=(2,4,6), \quad \overrightarrow{AC}=(3-(-1),\,-6-0,\,2-(-1))=(4,\,-6,\,3), \quad \overrightarrow{AD}=(-4-(-1),\,4-0,\,4-(-1))=(-3,\,4,\,5).
Calculamos o produto misto
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD} =(48,18,-28)\cdot(-3,4,5)=-144+72-140=-212\neq0.
Como o produto misto é não nulo, A,B,C,D não são coplanares.

Resposta

a) \overrightarrow{BD}=(16,\,-47,\,-\tfrac{51}{2})
b) \widehat{BA}=(-\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{14}})
c) Não são coplanares, pois o produto misto vale -212\neq0.

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