Dar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R^{4} :
a) \mathrm{W}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}) / \mathrm{x}-\mathrm{y}=\mathrm{y} e x -3 \mathrm{y}+\mathrm{t}=0\}.
b) \mathrm{U}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}) / \mathrm{x}-\mathrm{y}=0 e \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{t}=0\}
c) W+U
d) W \cap U

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão de dois subespaços de \mathbb{R}^{4} definidos por sistemas de equações lineares, além de suas soma e interseção. Para resolver vamos usar: (i) resolução de sistemas lineares para escrever cada subespaço em forma paramétrica, (ii) contar variáveis livres para achar a dimensão e (iii) as fórmulas
\dim(W+U)=\dim W+\dim U-\dim(W\cap U)
e
W\cap U=\{\text{solução simultânea de ambos}\}.çãâ

Passo 2

Analisando \mathrm{W}=\{(x,y,z,t)\mid x-y=y,\;x-3y+t=0\}:
x-y=y\quad\Longrightarrow\quad x=2y,
x-3y+t=0\quad\Longrightarrow\quad t=3y-x=3y-2y=y.
As variáveis livres são y e z. Logo
(x,y,z,t)=(2y,y,z,y)=y\,(2,1,0,1)+z\,(0,0,1,0).
Portanto
\text{base de }W=\{(2,1,0,1),\,(0,0,1,0)\},\quad \dim W=2.

Passo 3

Analisando \mathrm{U}=\{(x,y,z,t)\mid x-y=0,\;x+2y+t=0\}:
x-y=0\quad\Longrightarrow\quad x=y,
x+2y+t=0\quad\Longrightarrow\quad t=-(x+2y)=-(3y)=-3y.
As variáveis livres são y e z. Logo
(x,y,z,t)=(y,y,z,-3y)=y\,(1,1,0,-3)+z\,(0,0,1,0).
Portanto
\text{base de }U=\{(1,1,0,-3),\,(0,0,1,0)\},\quad \dim U=2.

Passo 4

Para W\cap U juntamos todas as equações:
de W vem x=2y e t=y; de U vem x=y e t=-3y.
Igualando x-es e t-es:
2y=y\implies y=0,\quad t=y=0,
e z fica livre. Logo
W\cap U=\{(0,0,z,0)\}=z\,(0,0,1,0),
\dim(W\cap U)=1.

Passo 5

Usando
\dim(W+U)=\dim W+\dim U-\dim(W\cap U)=2+2-1=3.
Uma base para W+U obtém-se unindo as bases de W e U e retirando vetores dependentes. Podemos escolher
\{(2,1,0,1),\;(1,1,0,-3),\;(0,0,1,0)\}.

Resposta

a) Base de W: \{(2,1,0,1),\,(0,0,1,0)\}, \dim W=2.
b) Base de U: \{(1,1,0,-3),\,(0,0,1,0)\}, \dim U=2.
c) Base de W+U: \{(2,1,0,1),\,(1,1,0,-3),\,(0,0,1,0)\}, \dim(W+U)=3.
d) Base de W\cap U: \{(0,0,1,0)\}, \dim(W\cap U)=1.

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