Dar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
a)
e x
.
b)
e
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão de dois subespaços de
definidos por sistemas de equações lineares, além de suas soma e interseção. Para resolver vamos usar: (i) resolução de sistemas lineares para escrever cada subespaço em forma paramétrica, (ii) contar variáveis livres para achar a dimensão e (iii) as fórmulas
e
Passo 2
Analisando
:
As variáveis livres são
e
. Logo
Portanto
Passo 3
Analisando
:
As variáveis livres são
e
. Logo
Portanto
Passo 4
Para
juntamos todas as equações:
de vem
e
; de
vem
e
.
Igualando -es e
-es:
de
Igualando
e
fica livre. Logo
Passo 5
Usando
Uma base para
obtém-se unindo as bases de
e
e retirando vetores dependentes. Podemos escolher
Resposta
a) Base de
:
,
.
b) Base de :
,
.
c) Base de :
,
.
d) Base de :
,
.
b) Base de
c) Base de
d) Base de