Através de uma tubulação horizontal de secção recta variável, escoa água, cuja densidade é 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Numa secção da tubulação, a pressão estática e módulo da velocidade valem, respectivamente, 5.10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é em Pascais, a pressão estática em outra secção da tubulação, onde o módulo da velocidade vale 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
A 3.10^{5}
B 3,5 \cdot 10^{5}
C 4,7.10^{5}
D 8.10^{5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a pressão estática na segunda secção da tubulação (em Pascais), sabendo que a água tem densidade 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, e que numa secção inicial a pressão e a velocidade valem, respectivamente, 5\cdot 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} e 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, enquanto na outra secção a velocidade vale 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Dados relevantes:
\rho = 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\qquad P_{1}=5\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa},\qquad v_{1}=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s},\qquad v_{2}=8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.
Queremos P_{2} em Pascais.

Passo 2

Vamos usar o princípio de conservação de energia para escoamento incompressível e estacionário ao longo de uma mesma linha de corrente (condição adequada para água em tubo sem grandes perdas). A forma prática desse princípio é a equação de Bernoulli. A forma geral que vamos aplicar, quando as alturas são iguais (tubulação horizontal), é:
P + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} = \text{constante ao longo do escoamento},
onde:
  • P é a pressão estática (unidade: \mathrm{Pa});
  • \rho é a densidade do fluido (unidade: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3});
  • v é o módulo da velocidade do fluido (unidade: \mathrm{m}/\mathrm{s});
  • \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a chamada pressão dinâmica (energia cinética por unidade de volume).
Explico rapidinho: a equação diz que a soma da pressão estática com a energia cinética por volume é a mesma em duas secções da tubulação (se não houver troca de altura nem perdas apreciáveis). Assim, se a velocidade aumenta, a pressão estática tende a diminuir, e vice-versa.

Passo 3

Da equação de Bernoulli entre as duas secções segue:
P_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = P_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.
Isolando P_{2}:
P_{2} = P_{1} + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr).
Aqui substituímos apenas a manipulação algébrica; cada símbolo já foi explicado no passo anterior.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os quadrados das velocidades:
v_{1}^{2} = 2^{2} = 4,\qquad v_{2}^{2} = 8^{2} = 64.
A diferença é
v_{1}^{2}-v_{2}^{2} = 4 - 64 = -60.
Calculamos a metade da densidade vezes essa diferença:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot 10^{3}\cdot(-60) = 500\cdot(-60) = -30\,000\\ \mathrm{Pa}.
Cada passo aritmético acima é simples multiplicação e subtração, sem necessidade de calculadora.

Passo 5

Agora obtemos P_{2}:
P_{2} = P_{1} + \bigl(\tfrac{1}{2}\rho(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\bigr) = 5\cdot 10^{5} + (-3\cdot 10^{4}) = 4,7\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: como a velocidade aumentou de 2 para 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, a pressão diminuiu; o resultado numérico é 4,7\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Passo 6

Verificação com as opções fornecidas: a opção que corresponde a 4,7\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} é a letra C. Força aí — a ideia principal para a prova é lembrar dessa forma simplificada da equação de Bernoulli para tubos horizontais e saber calcular a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.

Resposta

C 4,7\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}

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