O atual tempo de travessia com balsas entre Santos e Guarujá é considerado uma variável aleatória com distribuição normal de média 10 minutos. Uma nova balsa vai entrar em operação e desconfia-se que será mais lenta que a antiga. Para verificar se tal desconfiança tem de fato fundamento, uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova balsa foi aleatoriamente selecionada fornecendo um tempo médio de 12 minutos com variância de 9 minutos ^2. Nessas condições, qual seria a sua conclusão? Obs.: Utilize um nível de significância de 5 % e suponha que o tempo de travessia com a nova balsa também segue uma distribuição normal. Além disso, interprete os Erros Tipo I e II.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve o tempo que uma balsa leva para atravessar de Santos para Guarujá. A balsa antiga tem um tempo médio de 10 minutos, e queremos saber se a nova balsa é realmente mais lenta. Para isso, vamos usar estatística, especificamente testes de hipótese para verificar se a média do tempo de travessia da nova balsa é maior que 10 minutos. Precisamos saber sobre distribuições normais, média amostral, variância e como realizar um teste de hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é que a média do tempo de travessia da nova balsa é igual ou menor que 10 minutos. A hipótese alternativa (H₁) é que a média é maior que 10 minutos. Formalmente:
H0: mu <= 10
H1: mu > 10

Passo 3

Agora, precisamos calcular a estatística de teste. Como a variância da população não é conhecida e temos uma amostra de tamanho 20, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para a estatística t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral (12 minutos)
  • mu0 é a média sob a hipótese nula (10 minutos)
  • s é o desvio padrão amostral (a raiz da variância, ou seja, 3 minutos)
  • n é o tamanho da amostra (20)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 12 - 103 / raiz20
t = 23 / 4.4721
t = 20.6708
t approx 2.981

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste. Como o nível de significância é de 5% e é um teste unilateral (queremos saber se é maior), vamos procurar o valor crítico t para 19 graus de liberdade (n-1) e alpha = 0.05. Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 1.729.

Passo 6

Comparamos a nossa estatística de teste (2.981) com o valor crítico (1.729). Como 2.981 > 1.729, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Conclusão: Há evidências suficientes para afirmar, com 5% de confiança, que a média do tempo de travessia da nova balsa é maior que 10 minutos. Ou seja, a nova balsa realmente é mais lenta que a antiga.

Resposta

Concluímos, com nível de significância de 5%, que a nova balsa tem um tempo médio de travessia maior que 10 minutos, ou seja, ela é mais lenta que a antiga. Além disso, um Erro Tipo I ocorreria se rejeitássemos a hipótese nula quando ela fosse verdadeira, e um Erro Tipo II ocorreria se não rejeitássemos a hipótese nula quando ela fosse falsa.

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