Uma fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contém, em média, 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo não concorda com essa afirmação alegando que esse valor foi subestimado e, por isso, coleta uma amostra aleatória de 25 desses cigarros para testar a afirmação desta fábrica. Sabendo que tal amostra acusou um conteúdo médio de nicotina de
com desvio-padrão de
, responda os seguintes itens:
(b) Considerando tal suposição verdadeira e utilizando um nível de significância de
, qual seria sua conclusão a respeito da afirmação deste fabricante?
(b) Considerando tal suposição verdadeira e utilizando um nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A questão fala sobre testar se a afirmação da fabricante de cigarros de que cada cigarro tem, em média, 30 mg de nicotina é verdadeira. Uma ONG acha que esse valor tá baixo e faz um teste com uma amostra de 25 cigarros, encontrando uma média de 31,1 mg e um desvio-padrão de 3,87 mg. Nosso objetivo aqui é, usando um nível de significância de 5%, decidir se aceitamos ou rejeitamos a afirmação da fabricante. Para isso, vamos usar o Teste de Hipótese.
Passo 2
Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula (H₀): A média de nicotina nos cigarros é de 30 mg. Matemáticamente, $ H_0: \mu = 30 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média de nicotina nos cigarros é maior que 30 mg. Então, $ H_1: \mu > 30 $.
Estamos testando se a média realmente é maior do que 30 mg, conforme a ONG suspeita.
Passo 3
Agora, vamos definir nosso nível de significância, que já foi dado como 5% ou 0,05. Esse valor nos ajuda a determinar o quanto estamos dispostos a errar ao rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula do t-teste para uma única amostra, já que temos um tamanho de amostra pequeno (n = 25) e não sabemos a variância da população.
A fórmula é:
Onde:
- $ \bar{x} = 31,1 $ mg (média da amostra)
- $ \mu_0 = 30 $ mg (média hipotética)
- $ s = 3,87 $ mg (desvio-padrão da amostra)
- $ n = 25 $ (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste. Como é um teste unilateral (queremos saber se a média é maior), procuramos na tabela t o valor correspondente a $ \alpha = 0,05 $ e $ df = n - 1 = 24 $ graus de liberdade.
Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico para $ t_{0,05,24} $ é aproximadamente 1,711.
Passo 6
Comparamos nosso valor calculado de t com o valor crítico:
- Se $ t \geq 1,711 $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ t < 1,711 $, não rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, $ t \approx 1,421 $ é menor que 1,711, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da fabricante de que cada cigarro contém, em média, 30 mg de nicotina ao nível de significância de 5%.