(3 ptos) Mostre que é possível escrever o polinômio 2-2 t-t^{2}+t^{3} como combinação linear dos polinômios p_{1}(t)=1, p_{2}(t)=1-t, p_{3}(t)=(1-t)^{2}, p_{4}(t)=1-t^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio 2-2t-t^{2}+t^{3} como combinação linear dos polinômios
p_{1}(t)=1,\quad p_{2}(t)=1-t,\quad p_{3}(t)=(1-t)^{2},\quad p_{4}(t)=1-t^{3}.
Informações relevantes dadas:
\text{polinômio alvo: }2-2t-t^{2}+t^{3},ô
\text{polinômios disponíveis: }p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\\ \text{(definidos acima)}.ôí
O que devemos encontrar é coeficientes (reais) a,b,c,d tais que a combinação linear
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)+d\,p_{4}(t)
seja igual a 2-2t-t^{2}+t^{3} para todo t.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a combinação linear com coeficientes desconhecidos a,b,c,d:
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)+d\,p_{4}(t)
Substituindo as definições:
a\cdot 1 + b\cdot(1-t) + c\cdot(1-t)^{2} + d\cdot(1-t^{3}).

Passo 3

Expandimos cada termo para agrupar pelos monômios 1,t,t^{2},t^{3}.
Primeiro, desenvolvemos (1-t)^{2}:
(1-t)^{2} = 1 - 2t + t^{2}.
E já temos 1-t^{3} como está (não tem termo em t ou t^{2}, apenas constante e t^{3}).
Agora substituímos essas expressões na combinação:
a + b(1-t) + c(1-2t+t^{2}) + d(1-t^{3}).

Passo 4

Agora vamos expandir e agrupar os coeficientes de cada potência de t.
Expandindo termo a termo:
a + b - b t + c - 2c t + c t^{2} + d - d t^{3}.
Agrupando os coeficientes de 1,t,t^{2},t^{3}:
\text{constante: }a+b+c+d,
\text{coeficiente de }t:\\\ -b-2c,
\text{coeficiente de }t^{2}:\\ c,
\text{coeficiente de }t^{3}:\\\ -d.

Passo 5

Igualamos esses coeficientes aos do polinômio alvo 2-2t-t^{2}+t^{3}. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} a+b+c+d = 2,\\[4pt] -b-2c = -2,\\[4pt] c = -1,\\[4pt] -d = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolvemos o sistema passo a passo.
Da terceira equação temos
c = -1.
Da quarta equação temos
-d = 1 \implies d = -1.
Substituindo c=-1 na segunda equação:
-b-2(-1) = -2 \implies -b+2 = -2 \implies -b = -4 \implies b = 4.
Finalmente, substituímos b=4,\\ c=-1,\\ d=-1 na primeira equação:
a + 4 + (-1) + (-1) = 2 \implies a + 2 = 2 \implies a = 0.
Portanto os coeficientes são a=0,\\ b=4,\\ c=-1,\\ d=-1.

Passo 7

Escrevemos a combinação linear encontrada e verificamos rapidamente (substituindo os coeficientes na expressão expandida):
A combinação é
0\cdot p_{1}(t) + 4\cdot p_{2}(t) -1\cdot p_{3}(t) -1\cdot p_{4}(t).
Ou seja,
4(1-t) - (1-t)^{2} - (1-t^{3}).
Expandindo para conferir:
4(1-t) - (1-2t+t^{2}) - (1-t^{3}) = (4-4t) -1 +2t - t^{2} -1 + t^{3}
= (4-1-1) + (-4t+2t) + (-t^{2}) + t^{3} = 2 - 2t - t^{2} + t^{3},
que é exatamente o polinômio alvo. Confirmação feita!

Resposta

2-2t-t^{2}+t^{3} = 4(1-t) - (1-t)^{2} - (1-t^{3})

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