(3 ptos) Mostre que é possível escrever o polinômio
como combinação linear dos polinômios
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o polinômio
como combinação linear dos polinômios
Informações relevantes dadas:
O que devemos encontrar é coeficientes (reais)
tais que a combinação linear
seja igual a
para todo
.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a combinação linear com coeficientes desconhecidos
:
Substituindo as definições:
Passo 3
Expandimos cada termo para agrupar pelos monômios
.
Primeiro, desenvolvemos
:
E já temos
como está (não tem termo em
ou
, apenas constante e
).
Agora substituímos essas expressões na combinação:
Passo 4
Agora vamos expandir e agrupar os coeficientes de cada potência de
.
Expandindo termo a termo:
Agrupando os coeficientes de
:
Passo 5
Igualamos esses coeficientes aos do polinômio alvo
. Assim obtemos o sistema
Passo 6
Resolvemos o sistema passo a passo.
Da terceira equação temos
Da quarta equação temos
Substituindo
na segunda equação:
Finalmente, substituímos
na primeira equação:
Portanto os coeficientes são
.
Passo 7
Escrevemos a combinação linear encontrada e verificamos rapidamente (substituindo os coeficientes na expressão expandida):
A combinação é
Ou seja,
Expandindo para conferir:
que é exatamente o polinômio alvo. Confirmação feita!