Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa.
Table 1: Fluxos de Caixa
\captionsetup{labelformat=empty}
ano A B C D
\mathbf{0} -\ 1.500 &-$1.500 &-$ 1.500 &-$1.500$
\mathbf{1} 150 0 150 300
\mathbf{2} 1.350 0 300 450
\mathbf{3} 150 450 450 750
\mathbf{4} -150 1.050 600 750
\mathbf{5} -600 1.950 1.875 900

Passo 1

O enunciado pede para, para cada alternativa mutuamente exclusiva A,B,C,D: calcular a TIR (Taxa Interna de Retorno) e o VPL (Valor Presente Líquido) usando custo de capital de 10\% ao ano, e em seguida determinar a melhor alternativa.
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado): fluxos de caixa por ano:
\begin{array}{c|rrrrr} \text{ano} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline A & -1500 & 150 & 1350 & 150 & -150 & -600\\\ B & -1500 & 0 & 0 & 450 & 1050 & 1950\\\ C & -1500 & 150 & 300 & 450 & 600 & 1875\\\ D & -1500 & 300 & 450 & 750 & 750 & 900 \end{array}
Custo de capital (taxa de desconto): \,i=10\%\, ao ano.
O que preciso entregar: para cada alternativa calcular \text{VPL} em i=10\% e a \text{TIR}; depois decidir a melhor alternativa considerando que são mutuamente exclusivas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas (aulas rápidas e práticas).
  • VPL (Valor Presente Líquido): soma dos valores presentes dos fluxos de caixa, ou seja,
\text{VPL}(i)=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+i)^t},
onde CF_t é o fluxo no ano t, i é a taxa de desconto (custo de capital) e n é o último ano. O sinal do CF_0 normalmente é negativo (investimento inicial). Se \text{VPL}>0 o projeto agrega valor à taxa i. Para projetos mutuamente exclusivos a regra é escolher o que tem maior \text{VPL} (quando i é a taxa correta de avaliação).
  • TIR (Taxa Interna de Retorno): é a taxa r que zera o VPL, isto é,
0=\text{VPL}(r)=\sum_{t=0}^n\frac{CF_t}{(1+r)^t}.
A TIR pode não existir (nenhuma solução real) ou ser múltipla se os sinais dos fluxos mudarem mais de uma vez. Quando existir e os projetos forem convencionais (apenas uma mudança de sinal: investimento negativo seguido de só entradas positivas), a TIR é única. Para encontrar a TIR usamos tentativa e erro, interpolação linear entre duas taxas que deem VPLs de sinais opostos, ou métodos numéricos (Newton). Aqui vou usar avaliação por tentativas e interpolação (fácil de fazer numa prova sem calculadora científica complexa).

Passo 3

Calcular fatores de desconto para i=10\%. Vou calcular (1+i)^t e os fatores v_t=\dfrac{1}{(1+i)^t} com i=0{,}10.
(1{,}1)^1=1{,}1,\quad (1{,}1)^2=1{,}21,\quad (1{,}1)^3=1{,}331,\quad (1{,}1)^4=1{,}4641,\quad (1{,}1)^5=1{,}61051.
Portanto os fatores de desconto são (arredondei razoavelmente para 6-9 casas):
\begin{aligned} v_1&=\dfrac{1}{1{,}1}=0{,}9090909,\\\ v_2&=\dfrac{1}{1{,}21}=0{,}8264463,\\\ v_3&=\dfrac{1}{1{,}331}=0{,}7513148,\\\ v_4&=\dfrac{1}{1{,}4641}=0{,}6830135,\\\ v_5&=\dfrac{1}{1{,}61051}=0{,}6209213. \end{aligned}

Passo 4

Calcular \text{VPL} da alternativa A aplicando a fórmula termo a termo:
\text{VPL}_A=-1500+150v_1+1350v_2+150v_3-150v_4-600v_5.
Agora substituo os v_t calculados:
\begin{aligned} 150v_1&=150\cdot0{,}9090909=136{,}3636364,\\\\ 1350v_2&=1350\cdot0{,}8264463\approx1115{,}7024794,\\\\ 150v_3&=150\cdot0{,}7513148\approx112{,}6972201,\\\\ -150v_4&=-150\cdot0{,}6830135\approx-102{,}451,\\\\ -600v_5&=-600\cdot0{,}6209213\approx-372{,}5527938. \end{aligned}
Somando os termos (excluindo o termo inicial) dá:
136{,}3636+1115{,}7025+112{,}6972-102{,}4510-372{,}5528\approx889{,}7595.
Finalmente
\text{VPL}_A=-1500+889{,}7595\approx-610{,}2405.
Interpretação: \text{VPL}_A é negativo em i=10\%, então A destrói valor nessa taxa.

Passo 5

TIR da alternativa A: observo o padrão de sinais dos fluxos de A: -,+,+,+,-,-. Há mais de uma mudança de sinal (negativo→positivo e depois positivo→negativo), o que pode gerar múltiplas TIRs ou nenhuma TIR real. Além disso calculei \text{VPL}_A(0)= soma simples dos fluxos =-600 (negativo) e \text{VPL}_A(10\%)\approx-610{,}24 (também negativo). Como a função VPL® não muda de sinal entre r=0 e r=10\%, e testando outros r (valores extremos) também não surge mudança de sinal, concluímos que não existe taxa real r que zere a equação — ou seja, não existe TIR real para A. Portanto:
\text{TIR}_A:\\ \text{não existe (nenhuma TIR real)}.ã

Passo 6

Calcular \text{VPL} da alternativa B:
\text{VPL}_B=-1500+0\cdot v_1+0\cdot v_2+450v_3+1050v_4+1950v_5.
Substituindo:
\begin{aligned} 450v_3&=450\cdot0{,}7513148\approx338{,}0916604,\\\\ 1050v_4&=1050\cdot0{,}6830135\approx717{,}1641282,\\\\ 1950v_5&=1950\cdot0{,}6209213\approx1210{,}7965800. \end{aligned}
Somando:
\text{VPL}_B=-1500+(338{,}0917+717{,}1641+1210{,}7966)\approx-1500+2266{,}0524\approx766{,}0524.
Portanto \text{VPL}_B\approx\$766{,}05 (positivo).
Agora a TIR de B: os sinais são -,+,+,\dots (apenas uma mudança de sinal), então a TIR é única e real. Para achar r tal que \text{VPL}_B(r)=0 resolvo numericamente a equação
-1500+\frac{450}{(1+r)^3}+\frac{1050}{(1+r)^4}+\frac{1950}{(1+r)^5}=0.
Faço tentativa e erro: já sei \text{VPL}_B(10\%)\approx766{,}05>0 e \text{VPL}_B(40\%) fica negativa (teste rápido), então a TIR está entre 10\% e 40\%. Testando r=20\% obtenho \text{VPL}_B(20\%)\approx 50{,}44>0. Testando r=22\% obtive \text{VPL}_B(22\%)\approx-56{,}28<0. Aplicando interpolação linear entre 20\% e 22\%:
r\approx 20\% + \frac{50{,}44}{50{,}44+56{,}28}\cdot(22\%-20\%)\approx20{,}95\%.
Assim
\text{TIR}_B\approx 20{,}95\%\\ (\text{aprox. }21{,}0\%).

Passo 7

Calcular \text{VPL} da alternativa C:
\text{VPL}_C=-1500+150v_1+300v_2+450v_3+600v_4+1875v_5.
Substituindo os v_t:
\begin{aligned} 150v_1&\approx136{,}3636364,\\\\ 300v_2&\approx247{,}9338843,\\\\ 450v_3&\approx338{,}0916604,\\\\ 600v_4&\approx409{,}8080732,\\\\ 1875v_5&\approx1164{,}2274808. \end{aligned}
Somando os termos de fluxo e subtraindo o investimento inicial:
\text{VPL}_C\approx-1500+(136{,}3636+247{,}9339+338{,}0917+409{,}8081+1164{,}2275)\approx796{,}4247.
Logo \text{VPL}_C\approx\$796{,}42 (positivo).
Agora a TIR de C: fluxos são convencionais (-1500, +, +,\dots), então há uma TIR única. Faço tentativa: \text{VPL}_C(10\%)\approx796{,}42>0, \text{VPL}_C(30\%)\approx-287{,}6<0 (teste), então a TIR está entre 20\% e 30\%. Testes mais próximos deram \text{VPL}_C(22\%)\approx+36{,}9 e \text{VPL}_C(23\%)\approx-9{,}87. Interpolando linearmente entre 22\% e 23\%:
r\approx 22\% + \frac{36{,}9}{36{,}9+9{,}87}\cdot(1\%)\approx22{,}79\%.
Assim
\text{TIR}_C\approx22{,}79\%\\ (\text{aprox. }22{,}8\%).

Passo 8

Calcular \text{VPL} da alternativa D:
\text{VPL}_D=-1500+300v_1+450v_2+750v_3+750v_4+900v_5.
Substituindo:
\begin{aligned} 300v_1&\approx272{,}7272727,\\\\ 450v_2&\approx371{,}9008265,\\\\ 750v_3&\approx563{,}4861007,\\\\ 750v_4&\approx512{,}2600916,\\\\ 900v_5&\approx558{,}8291908. \end{aligned}
Somando:
\text{VPL}_D\approx-1500+(272{,}7273+371{,}9008+563{,}4861+512{,}2601+558{,}8292)\approx779{,}2035.
Logo \text{VPL}_D\approx\$779{,}20.
TIR de D: fluxos convencionais (uma única mudança de sinal), logo TIR única. Testes: \text{VPL}_D(10\%)\approx779{,}20>0, \text{VPL}_D(30\%)\approx-156{,}6<0. Testes adicionais deram \text{VPL}_D(24\%)\approx52{,}21>0 e \text{VPL}_D(26\%)\approx-23{,}42<0. Interpolando linearmente entre 24\% e 26\%:
r\approx 24\% + \frac{52{,}21}{52{,}21+23{,}42}\cdot2\%\approx25{,}38\%.
Assim
\text{TIR}_D\approx25{,}38\%\\ (\text{aprox. }25{,}4\%).

Passo 9

Comparação das alternativas usando VPL (critério correto para projetos mutuamente exclusivos com mesmo capital): listar os valores calculados
\begin{aligned} \text{VPL}_A&\approx-610{,}24,\\\ \text{VPL}_B&\approx 766{,}05,\\\ \text{VPL}_C&\approx 796{,}42,\\\ \text{VPL}_D&\approx 779{,}20. \end{aligned}
Como são mutuamente exclusivas, escolhemos a alternativa com maior VPL (a que agrega mais valor ao custo de capital 10\%). Logo a melhor alternativa é C (maior VPL \approx\$796{,}42). Observação sobre TIRs: as TIRs ordenam as alternativas de forma diferente (por exemplo D tem a maior TIR) — isso mostra que para decisões entre projetos mutuamente exclusivos devemos usar VPL e não TIR quando as ordens divergirem.

Resposta

A: \text{TIR}: \text{não existe TIR real};\\ \text{VPL}: -\$610{,}24ã
B: \text{TIR}\approx 20{,}95\%;\\ \text{VPL}: \$766{,}05
C: \text{TIR}\approx 22{,}79\%;\\ \text{VPL}: \$796{,}42
D: \text{TIR}\approx 25{,}38\%;\\ \text{VPL}: \$779{,}20
Melhor alternativa (com i=10\%): C (maior VPL \approx\$796{,}42).

Exercícios relacionados