Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa.
Table 1: Fluxos de Caixa\captionsetup{labelformat=empty}
ano
A
B
C
D
1.500
-$1.500
-$ 1.500
-$1.500$
150
0
150
300
1.350
0
300
450
150
450
450
750
-150
1.050
600
750
-600
1.950
1.875
900
Table 1: Fluxos de Caixa
\captionsetup{labelformat=empty}
| ano | A | B | C | D |
|
|
|
|||
|
|
150 | 0 | 150 | 300 |
|
|
1.350 | 0 | 300 | 450 |
|
|
150 | 450 | 450 | 750 |
|
|
-150 | 1.050 | 600 | 750 |
|
|
-600 | 1.950 | 1.875 | 900 |
Passo 1
O enunciado pede para, para cada alternativa mutuamente exclusiva
: calcular a TIR (Taxa Interna de Retorno) e o VPL (Valor Presente Líquido) usando custo de capital de
ao ano, e em seguida determinar a melhor alternativa.
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado): fluxos de caixa por ano:
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado): fluxos de caixa por ano:
Custo de capital (taxa de desconto):
ao ano.
O que preciso entregar: para cada alternativa calcular em
e a
; depois decidir a melhor alternativa considerando que são mutuamente exclusivas.
O que preciso entregar: para cada alternativa calcular
Passo 2
Conceitos e fórmulas (aulas rápidas e práticas).
- VPL (Valor Presente Líquido): soma dos valores presentes dos fluxos de caixa, ou seja,
onde
é o fluxo no ano
,
é a taxa de desconto (custo de capital) e
é o último ano. O sinal do
normalmente é negativo (investimento inicial). Se
o projeto agrega valor à taxa
. Para projetos mutuamente exclusivos a regra é escolher o que tem maior
(quando
é a taxa correta de avaliação).
- TIR (Taxa Interna de Retorno): é a taxa
que zera o VPL, isto é,
A TIR pode não existir (nenhuma solução real) ou ser múltipla se os sinais dos fluxos mudarem mais de uma vez. Quando existir e os projetos forem convencionais (apenas uma mudança de sinal: investimento negativo seguido de só entradas positivas), a TIR é única. Para encontrar a TIR usamos tentativa e erro, interpolação linear entre duas taxas que deem VPLs de sinais opostos, ou métodos numéricos (Newton). Aqui vou usar avaliação por tentativas e interpolação (fácil de fazer numa prova sem calculadora científica complexa).
Passo 3
Calcular fatores de desconto para
. Vou calcular
e os fatores
com
.
Portanto os fatores de desconto são (arredondei razoavelmente para 6-9 casas):
Passo 4
Calcular
da alternativa
aplicando a fórmula termo a termo:
Agora substituo os
calculados:
Somando os termos (excluindo o termo inicial) dá:
Finalmente
Interpretação:
é negativo em
, então
destrói valor nessa taxa.
Passo 5
TIR da alternativa
: observo o padrão de sinais dos fluxos de
:
. Há mais de uma mudança de sinal (negativo→positivo e depois positivo→negativo), o que pode gerar múltiplas TIRs ou nenhuma TIR real. Além disso calculei
soma simples dos fluxos
(negativo) e
(também negativo). Como a função VPL® não muda de sinal entre
e
, e testando outros
(valores extremos) também não surge mudança de sinal, concluímos que não existe taxa real
que zere a equação — ou seja, não existe TIR real para
. Portanto:
Passo 6
Calcular
da alternativa
:
Substituindo:
Somando:
Portanto
(positivo).
Agora a TIR de
: os sinais são
(apenas uma mudança de sinal), então a TIR é única e real. Para achar
tal que
resolvo numericamente a equação
Faço tentativa e erro: já sei
e
fica negativa (teste rápido), então a TIR está entre
e
. Testando
obtenho
. Testando
obtive
. Aplicando interpolação linear entre
e
:
Assim
Passo 7
Calcular
da alternativa
:
Substituindo os
:
Somando os termos de fluxo e subtraindo o investimento inicial:
Logo
(positivo).
Agora a TIR de
: fluxos são convencionais
, então há uma TIR única. Faço tentativa:
,
(teste), então a TIR está entre
e
. Testes mais próximos deram
e
. Interpolando linearmente entre
e
:
Assim
Passo 8
Calcular
da alternativa
:
Substituindo:
Somando:
Logo
.
TIR de
: fluxos convencionais (uma única mudança de sinal), logo TIR única. Testes:
,
. Testes adicionais deram
e
. Interpolando linearmente entre
e
:
Assim
Passo 9
Comparação das alternativas usando VPL (critério correto para projetos mutuamente exclusivos com mesmo capital): listar os valores calculados
Como são mutuamente exclusivas, escolhemos a alternativa com maior VPL (a que agrega mais valor ao custo de capital
). Logo a melhor alternativa é
(maior VPL
). Observação sobre TIRs: as TIRs ordenam as alternativas de forma diferente (por exemplo
tem a maior TIR) — isso mostra que para decisões entre projetos mutuamente exclusivos devemos usar VPL e não TIR quando as ordens divergirem.
Resposta
A:
B:
C:
D:
Melhor alternativa (com
):
(maior VPL
).