Auditoria. Em um período de 52 semanas, uma empresa pagou hora extra por 18 semanas e contratou trabalho temporário por 9 semanas. Durante 5 semanas, a empresa pagou hora extra e contratou trabalho temporário.
a) Os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um auditor examinar aleatoriamente a folha de pagamento para somente uma semana, qual a probabilidade de que a folha de pagamento seja de uma semana contendo pagamento de horas extras ou trabalho temporário?
a) Os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um auditor examinar aleatoriamente a folha de pagamento para somente uma semana, qual a probabilidade de que a folha de pagamento seja de uma semana contendo pagamento de horas extras ou trabalho temporário?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Informações do enunciado:
- O total de semanas do período é
. - Semanas com pagamento de hora extra:
semanas. - Semanas com contratação de temporários:
semanas. - Semanas em que houve ambos (hora extra e temporários):
semanas.
O enunciado pede:
(a) Determinar se os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos e explicar por quê.
(b) Calcular a probabilidade de que, escolhendo aleatoriamente uma semana, essa semana contenha pagamento de horas extras ou trabalho temporário (ou ambos).
(a) Determinar se os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos e explicar por quê.
(b) Calcular a probabilidade de que, escolhendo aleatoriamente uma semana, essa semana contenha pagamento de horas extras ou trabalho temporário (ou ambos).
Passo 2
Definir o espaço amostral e os eventos de forma formal e simples (para aplicar probabilidade).
- Espaço amostral: todas as
semanas; assumimos que cada semana é igualmente provável de ser escolhida (uma escolha aleatória simples). - Definir eventos:
- Seja
o evento “a semana contém pagamento de hora extra”. - Seja
o evento “a semana contém contratação de temporários”.
- Seja
Contagens associadas:
-
. -
. -
. - Total
.
Probabilidades individuais (fração do total):
Passo 3
Explicar o que significa “mutuamente exclusivos” e aplicar ao caso.
- Definição didática: Dois eventos são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) quando eles não podem ocorrer simultaneamente — ou seja, quando sua interseção é vazia:
. Em termos de probabilidade, isso significa . - Aqui: encontramos
, então . Logo, existe um conjunto de semanas em que ocorreram ambos os acontecimentos. - Conclusão imediata: os eventos não são mutuamente exclusivos porque há semanas em que aconteceram simultaneamente pagamento de hora extra e contratação de temporários.
Passo 4
Calcular a probabilidade do evento “hora extra ou temporários” usando a fórmula correta.
- O evento pedido é
(hora extra ou temporários, inclusive ambos). - Fórmula de inclusão-exclusão (muito usada em provas): para quaisquer dois eventos
e , Explicando a fórmula: soma-se a probabilidade de cada evento e subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes na soma inicial. - Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Simplificar a fração e apresentar também a aproximação decimal (útil em prova).
- Simplificando
: dividir numerador e denominador por , - Aproximação decimal (usar vírgula como separador):
- Interpretação rápida: cerca de
das semanas têm hora extra ou temporários.
Resposta
(a) Não — não são mutuamente exclusivos, porque houve
semanas com ambos os eventos (
).
(b) .
(b)