Auditoria. Em um período de 52 semanas, uma empresa pagou hora extra por 18 semanas e contratou trabalho temporário por 9 semanas. Durante 5 semanas, a empresa pagou hora extra e contratou trabalho temporário.
a) Os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um auditor examinar aleatoriamente a folha de pagamento para somente uma semana, qual a probabilidade de que a folha de pagamento seja de uma semana contendo pagamento de horas extras ou trabalho temporário?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Informações do enunciado:
  • O total de semanas do período é \,52\,.
  • Semanas com pagamento de hora extra: \,18\, semanas.
  • Semanas com contratação de temporários: \,9\, semanas.
  • Semanas em que houve ambos (hora extra e temporários): \,5\, semanas.
O enunciado pede:
(a) Determinar se os eventos “selecionar uma semana que contenha pagamentos de hora extra” e “selecionar uma semana com contratação de temporários” são mutuamente exclusivos e explicar por quê.
(b) Calcular a probabilidade de que, escolhendo aleatoriamente uma semana, essa semana contenha pagamento de horas extras ou trabalho temporário (ou ambos).

Passo 2

Definir o espaço amostral e os eventos de forma formal e simples (para aplicar probabilidade).
  • Espaço amostral: todas as \,52\, semanas; assumimos que cada semana é igualmente provável de ser escolhida (uma escolha aleatória simples).
  • Definir eventos:
    • Seja A o evento “a semana contém pagamento de hora extra”.
    • Seja B o evento “a semana contém contratação de temporários”.
Contagens associadas:
  • |A| = 18.
  • |B| = 9.
  • |A\cap B| = 5.
  • Total |\Omega| = 52.
Probabilidades individuais (fração do total):
  • P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{18}{52}.
  • P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{9}{52}.
  • P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}=\frac{5}{52}.

Passo 3

Explicar o que significa “mutuamente exclusivos” e aplicar ao caso.
  • Definição didática: Dois eventos são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) quando eles não podem ocorrer simultaneamente — ou seja, quando sua interseção é vazia: A\cap B=\varnothing. Em termos de probabilidade, isso significa P(A\cap B)=0.
  • Aqui: encontramos |A\cap B|=5, então P(A\cap B)=\dfrac{5}{52}\neq 0. Logo, existe um conjunto de semanas em que ocorreram ambos os acontecimentos.
  • Conclusão imediata: os eventos não são mutuamente exclusivos porque há semanas em que aconteceram simultaneamente pagamento de hora extra e contratação de temporários.

Passo 4

Calcular a probabilidade do evento “hora extra ou temporários” usando a fórmula correta.
  • O evento pedido é A\cup B (hora extra ou temporários, inclusive ambos).
  • Fórmula de inclusão-exclusão (muito usada em provas): para quaisquer dois eventos A e B, P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).Explicando a fórmula: soma-se a probabilidade de cada evento e subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes na soma inicial.
  • Substituindo os valores que calculamos: P(A\cup B)=\frac{18}{52}+\frac{9}{52}-\frac{5}{52}=\frac{18+9-5}{52}=\frac{22}{52}.

Passo 5

Simplificar a fração e apresentar também a aproximação decimal (útil em prova).
  • Simplificando \dfrac{22}{52}: dividir numerador e denominador por 2, \frac{22}{52}=\frac{11}{26}.
  • Aproximação decimal (usar vírgula como separador): \frac{11}{26}\approx 0,4231.
  • Interpretação rápida: cerca de 42,31\% das semanas têm hora extra ou temporários.

Resposta

(a) Não — não são mutuamente exclusivos, porque houve \,5\, semanas com ambos os eventos ( P(A\cap B)=\dfrac{5}{52}\neq0).
(b) \dfrac{11}{26}\approx0,4231.

Exercícios relacionados