Decida se os eventos são mutuamente exclusivos. Explique seu raciocínio.
Evento A: selecionar aleatoriamente uma pessoa entre 18 e 24 anos.
Evento B: selecionar aleatoriamente uma pessoa entre 25 e 34 anos.

Passo 1

O enunciado dá duas descrições de eventos ao selecionar aleatoriamente uma pessoa:
  • Evento A: a pessoa tem idade entre 18 e 24 anos.
  • Evento B: a pessoa tem idade entre 25 e 34 anos.
O que é pedido:
  • Decidir se os eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, se ambos podem ocorrer ao mesmo tempo) e explicar o raciocínio.

Passo 2

Definição importante (aquela que vamos usar): dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente. Em linguagem de conjuntos isso significa:
A\\ \text{e}\\ B\\ \text{são mutuamente exclusivos} \quad\Longleftrightarrow\quad A\cap B=\varnothing,ã
onde \varnothing é o conjunto vazio (nenhum elemento comum).
Vou explicar essa definição com palavras simples: se existe alguma situação possível que pertence aos dois eventos ao mesmo tempo, então eles não são mutuamente exclusivos. Se não existe nenhuma situação que satisfaça simultaneamente as duas condições, então são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Vamos representar os eventos como conjuntos de idades. Há duas interpretações naturais que aparecem em problemas assim: (a) idades tratadas como números inteiros (anos completos) ou (b) idades tratadas como números reais (idade em anos com casas decimais). Vou mostrar que em ambas as interpretações a conclusão é a mesma.
Interpretação (a) — idades inteiras:
A=\{18,19,20,21,22,23,24\}, \qquad B=\{25,26,27,28,29,30,31,32,33,34\}.
Claramente não há nenhum número inteiro que pertença a ambos os conjuntos, logo
A\cap B=\varnothing.
Interpretação (b) — idades reais:
A=\{x\in\mathbb{R}\mid 18\le x\le 24\}, \qquad B=\{x\in\mathbb{R}\mid 25\le x\le 34\}.
Um elemento x estaria em A\cap B somente se ao mesmo tempo 18\le x\le 24 e 25\le x\le 34. Essas duas condições são contraditórias (não existe x que seja simultaneamente \le 24 e \ge 25), portanto
A\cap B=\varnothing.
Observação sobre inclusão/exclusão de extremos: mesmo se as descrições fossem estritas (por exemplo 18<x<24 e 25<x<34) ou incluíssem/excluíssem limites, continua havendo um espaço entre 24 e 25 — não há sobreposição — então a conclusão não muda.

Passo 4

Como mostramos acima em qualquer interpretação razoável dos dados, A\cap B=\varnothing. Pela definição do Passo 2 isso implica que A e B são mutuamente exclusivos. Em termos de probabilidade, isso também significa que
P(A\cap B)=0.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica para a prova: eventos que descrevem faixas de idade sem sobreposição (por exemplo 18 24 e 25 34) não podem ocorrer ao mesmo tempo — uma pessoa não pode ter idade em duas faixas distintas e não sobrepostas ao mesmo instante. Se encontrar faixas que tocam no limite (por exemplo 18 24 e 24 30), aí é preciso checar se os limites são incluídos ou não; é um detalhe que muda a resposta. Aqui não há esse problema porque as faixas são separadas por um inteiro.
Força aí — você já tem a resposta clara e a razão formal para justificar na prova!

Resposta

Sim, são mutuamente exclusivos.

Exercícios relacionados