Decida se os eventos são mutuamente exclusivos. Explique seu raciocínio.
Evento A: selecionar aleatoriamente uma pessoa entre 18 e 24 anos.
Evento B: selecionar aleatoriamente uma pessoa entre 25 e 34 anos.
Evento A: selecionar aleatoriamente uma pessoa entre 18 e 24 anos.
Passo 1
O enunciado dá duas descrições de eventos ao selecionar aleatoriamente uma pessoa:
- Evento
: a pessoa tem idade entre e anos. - Evento
: a pessoa tem idade entre e anos.
O que é pedido:
- Decidir se os eventos
e são mutuamente exclusivos (ou seja, se ambos podem ocorrer ao mesmo tempo) e explicar o raciocínio.
Passo 2
Definição importante (aquela que vamos usar): dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente. Em linguagem de conjuntos isso significa:
onde
é o conjunto vazio (nenhum elemento comum).
Vou explicar essa definição com palavras simples: se existe alguma situação possível que pertence aos dois eventos ao mesmo tempo, então eles não são mutuamente exclusivos. Se não existe nenhuma situação que satisfaça simultaneamente as duas condições, então são mutuamente exclusivos.
Passo 3
Vamos representar os eventos como conjuntos de idades. Há duas interpretações naturais que aparecem em problemas assim: (a) idades tratadas como números inteiros (anos completos) ou (b) idades tratadas como números reais (idade em anos com casas decimais). Vou mostrar que em ambas as interpretações a conclusão é a mesma.
Interpretação (a) — idades inteiras:
Claramente não há nenhum número inteiro que pertença a ambos os conjuntos, logo
Interpretação (b) — idades reais:
Um elemento
estaria em
somente se ao mesmo tempo
e
. Essas duas condições são contraditórias (não existe
que seja simultaneamente
e
), portanto
Observação sobre inclusão/exclusão de extremos: mesmo se as descrições fossem estritas (por exemplo
e
) ou incluíssem/excluíssem limites, continua havendo um espaço entre
e
— não há sobreposição — então a conclusão não muda.
Passo 4
Como mostramos acima em qualquer interpretação razoável dos dados,
. Pela definição do Passo 2 isso implica que
e
são mutuamente exclusivos. Em termos de probabilidade, isso também significa que
Passo 5
Resumo intuitivo e dica para a prova: eventos que descrevem faixas de idade sem sobreposição (por exemplo
–
e
–
) não podem ocorrer ao mesmo tempo — uma pessoa não pode ter idade em duas faixas distintas e não sobrepostas ao mesmo instante. Se encontrar faixas que tocam no limite (por exemplo
–
e
–
), aí é preciso checar se os limites são incluídos ou não; é um detalhe que muda a resposta. Aqui não há esse problema porque as faixas são separadas por um inteiro.
Força aí — você já tem a resposta clara e a razão formal para justificar na prova!
Resposta
Sim, são mutuamente exclusivos.