Pesquisa de jornal. Uma faculdade tem 3.500 matrículas. Dessas, 860 são para administração e 1.800 são de mulheres. De administração, 425 são mulheres.
a) Os eventos “selecionar um estudante do sexo feminino” e “selecionar uma matrícula de administração” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um jornal da faculdade conduzir uma pesquisa e selecionar estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que o estudante selecionado seja mulher ou estude administração?
a) Os eventos “selecionar um estudante do sexo feminino” e “selecionar uma matrícula de administração” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um jornal da faculdade conduzir uma pesquisa e selecionar estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que o estudante selecionado seja mulher ou estude administração?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
- Total de matrículas:
. - Matrículas em administração:
. - Matrículas de mulheres:
. - Matrículas que são mulheres e estão em administração:
.
O enunciado pede:
- (a) Verificar se os eventos “selecionar um estudante do sexo feminino” e “selecionar uma matrícula de administração” são mutuamente exclusivos.
- (b) Calcular a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja mulher ou estude administração.
Passo 2
Definições e notação — o que cada símbolo significa.
- Denotar o evento “selecionar uma estudante do sexo feminino” por
. - Denotar o evento “selecionar uma matrícula de administração” por
. - Por
entende-se o número de resultados que satisfazem o evento . - Por
entende-se a probabilidade do evento , calculada por .
Mutuamente exclusivos (definição): dois eventos
e
são mutuamente exclusivos se e somente se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, se
. Vou aplicar essa definição a
e
.
Passo 3
Teste de mutual exclusividade usando os dados.
- Sabemos que
(o enunciado deu esse número). - Como
, a interseção não é vazia.
Portanto, pela definição, os eventos não são mutuamente exclusivos.
Passo 4
Formulação do cálculo pedido em (b): probabilidade de “mulher ou administração”.
- O evento “mulher ou administração” é a união
. - A fórmula geral da probabilidade da união de dois eventos é (princípio da inclusão-exclusão):
- Aqui cada probabilidade será calculada como
.
Vou calcular cada termo separadamente e depois aplicar a fórmula.
Passo 5
Calcular
.
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Calcular
.
Simplificando dividindo por
(ou apresentar fração reduzida):
Passo 7
Calcular
.
Simplificando dividindo por
:
Passo 8
Aplicar a fórmula da união e simplificar exatamente.
Somando os numeradores:
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 9
Cheque rápido por contagem inteira (intuição): o número de matrículas que são mulher ou administração é
estudantes. Isso corresponde a
, que é exatamente a probabilidade encontrada. O complemento (não ser nem mulher nem administração) tem
casos, o que dá
, e soma com a união dá
. Portanto o cálculo está coerente.
Resposta
a) Não.
, logo não são mutuamente exclusivos.
b) (aprox.
).
b)