Pesquisa de jornal. Uma faculdade tem 3.500 matrículas. Dessas, 860 são para administração e 1.800 são de mulheres. De administração, 425 são mulheres.
a) Os eventos “selecionar um estudante do sexo feminino” e “selecionar uma matrícula de administração” são mutuamente exclusivos? Explique.
b) Se um jornal da faculdade conduzir uma pesquisa e selecionar estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que o estudante selecionado seja mulher ou estude administração?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
  • Total de matrículas: \,3500\,.
  • Matrículas em administração: \,860\,.
  • Matrículas de mulheres: \,1800\,.
  • Matrículas que são mulheres e estão em administração: \,425\,.
O enunciado pede:
  • (a) Verificar se os eventos “selecionar um estudante do sexo feminino” e “selecionar uma matrícula de administração” são mutuamente exclusivos.
  • (b) Calcular a probabilidade de que um estudante selecionado aleatoriamente seja mulher ou estude administração.

Passo 2

Definições e notação — o que cada símbolo significa.
  • Denotar o evento “selecionar uma estudante do sexo feminino” por \,M\,.
  • Denotar o evento “selecionar uma matrícula de administração” por \,A\,.
  • Por \#(E) entende-se o número de resultados que satisfazem o evento E.
  • Por \,P(E)\, entende-se a probabilidade do evento E, calculada por \,P(E)=\dfrac{\#(E)}{\text{total}}.
Mutuamente exclusivos (definição): dois eventos E e F são mutuamente exclusivos se e somente se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, se \#(E\cap F)=0. Vou aplicar essa definição a M e A.

Passo 3

Teste de mutual exclusividade usando os dados.
  • Sabemos que \#(M\cap A)=425 (o enunciado deu esse número).
  • Como \#(M\cap A)=425>0, a interseção não é vazia.
Portanto, pela definição, os eventos não são mutuamente exclusivos.

Passo 4

Formulação do cálculo pedido em (b): probabilidade de “mulher ou administração”.
  • O evento “mulher ou administração” é a união M\cup A.
  • A fórmula geral da probabilidade da união de dois eventos é (princípio da inclusão-exclusão):
P(M\cup A)=P(M)+P(A)-P(M\cap A).
  • Aqui cada probabilidade será calculada como \dfrac{\#(\cdot)}{3500}.
Vou calcular cada termo separadamente e depois aplicar a fórmula.

Passo 5

Calcular P(M).
P(M)=\frac{\#(M)}{3500}=\frac{1800}{3500}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 100:
P(M)=\frac{18}{35}\approx 0,5142857\approx 0,5143\quad(\text{ou }51{,}43\%).

Passo 6

Calcular P(A).
P(A)=\frac{\#(A)}{3500}=\frac{860}{3500}.
Simplificando dividindo por 20 (ou apresentar fração reduzida):
P(A)=\frac{43}{175}\approx 0,2457143\approx 0,2457\quad(\text{ou }24{,}57\%).

Passo 7

Calcular P(M\cap A).
P(M\cap A)=\frac{\#(M\cap A)}{3500}=\frac{425}{3500}.
Simplificando dividindo por 25:
P(M\cap A)=\frac{17}{140}\approx 0,1214286\approx 0,1214\quad(\text{ou }12{,}14\%).

Passo 8

Aplicar a fórmula da união e simplificar exatamente.
P(M\cup A)=P(M)+P(A)-P(M\cap A)=\frac{1800}{3500}+\frac{860}{3500}-\frac{425}{3500}.
Somando os numeradores:
P(M\cup A)=\frac{1800+860-425}{3500}=\frac{2235}{3500}.
Simplificando a fração dividindo por 5:
P(M\cup A)=\frac{447}{700}\approx 0,6385714\approx 0,6386\quad(\text{ou }63{,}86\%).

Passo 9

Cheque rápido por contagem inteira (intuição): o número de matrículas que são mulher ou administração é \,1800+860-425=2235\, estudantes. Isso corresponde a \dfrac{2235}{3500}, que é exatamente a probabilidade encontrada. O complemento (não ser nem mulher nem administração) tem \,3500-2235=1265\, casos, o que dá \dfrac{1265}{3500}\approx0,3614, e soma com a união dá 1. Portanto o cálculo está coerente.

Resposta

a) Não. \#(M\cap A)=425>0, logo não são mutuamente exclusivos.
b) \displaystyle P(\text{mulher ou administração})=\frac{2235}{3500}=\frac{447}{700}\approx0,6386çã (aprox. 63{,}86\%).

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