Augusto é o gerente de uma loja que tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio semanal. As vendas dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6.
(a) Determine a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.
(b) Determine o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: Augusto tem 5 carros para vender.
  • Informação: As vendas de cada carro são independentes e a probabilidade de vender cada carro é 0,6.
  • Regra do prêmio: Se Augusto vender até 2 carros (ou seja, 0,1 ou 2), ele não recebe prêmio; se vender 3, 4 ou 5 carros, ele recebe um prêmio semanal.
  • Pergunta (a): Determinar a função massa de probabilidade (pmf) do prêmio semanal ganho por Augusto.
  • Pergunta (b): Determinar o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.
Observação importante que vou assumir para modelar a questão (não pedirei mais informações): vou representar o “prêmio semanal” por uma variável aleatória indicadora Y que vale 1 quando Augusto recebe o prêmio (ou seja, vende \ge 3 carros) e vale 0 quando não recebe o prêmio. Assim a pmf pedida será a distribuição de Y.

Passo 2

Modelagem: primeiro modelamos o número de carros vendidos. Seja X o número de carros vendidos entre os 5. Como as vendas são independentes e cada carro é vendido com probabilidade 0,6, X tem distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,6. Escrevemos:
X \sim \text{Binomial}(n=5,p=0,6).
A fórmula da probabilidade binomial é: para k=0,1,\dots,5,
\mathbb{P}(X=k)=\binom{5}{k}(0,6)^k(0,4)^{5-k}.
Aqui \binom{5}{k} é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher quais k carros foram vendidos; seus valores são \binom{5}{0}=1,\\ \binom{5}{1}=5,\\ \binom{5}{2}=10,\\ \binom{5}{3}=10,\\ \binom{5}{4}=5,\\ \binom{5}{5}=1.

Passo 3

Calcular as probabilidades necessárias para decidir se o prêmio é pago (precisamos de \mathbb{P}(X\le 2) e \mathbb{P}(X\ge 3)). Vou calcular \mathbb{P}(X=0),\mathbb{P}(X=1),\mathbb{P}(X=2) explicitamente.
  • Para k=0:
\mathbb{P}(X=0)=\binom{5}{0}(0,6)^0(0,4)^5 = 1\cdot 1 \cdot 0,4^5 = 0,4^5 = 0,01024.
  • Para k=1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{5}{1}(0,6)^1(0,4)^4 = 5\cdot 0,6\cdot 0,4^4 = 5\cdot 0,6\cdot 0,0256 = 0,0768.
  • Para k=2:
\mathbb{P}(X=2)=\binom{5}{2}(0,6)^2(0,4)^3 = 10\cdot 0,36\cdot 0,064 = 10\cdot 0,02304 = 0,2304.
Agora somo esses três para obter \mathbb{P}(X\le 2):
\mathbb{P}(X\le 2)=0,01024+0,0768+0,2304=0,31744.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(X\ge 3), que é a probabilidade de Augusto ganhar o prêmio. Usei a relação complementar:
\mathbb{P}(X\ge 3)=1-\mathbb{P}(X\le 2)=1-0,31744=0,68256.
(Se quiser conferir, podemos também somar \mathbb{P}(X=3)+\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5); os cálculos dão 0,3456+0,2592+0,07776=0,68256, mesma coisa.)

Passo 5

Defino formalmente a variável do prêmio:
Y = \begin{cases} 1, & \text{se Augusto ganha o prêmio na semana (isto é, se }X\ge 3\text{)},\\[4pt] 0, & \text{se Augusto não ganha o prêmio (isto é, se }X\le 2\text{)}. \end{cases}êéãêé
Y é, portanto, uma variável de Bernoulli com parâmetro p_Y=\mathbb{P}(Y=1)=\mathbb{P}(X\ge 3)=0,68256.
A função massa de probabilidade (pmf) de Y é então:
\mathbb{P}(Y=0)=0,31744,\qquad \mathbb{P}(Y=1)=0,68256.]

Passo 6

Agora o desvio padrão do ganho semanal: como Y é Bernoulli com parâmetro p_Y, conhecemos as fórmulas básicas (vou explicar como e porquê):
  • A esperança (média) de uma Bernoulli é \mathbb{E}[Y]=p_Y. Aqui \mathbb{E}[Y]=0,68256.
  • A variância de uma Bernoulli é \mathrm{Var}(Y)=p_Y(1-p_Y). Isso vem da definição \mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2]-\mathbb{E}[Y]^2, e como Y^2=Y para variáveis que só valem 0 ou 1, temos \mathbb{E}[Y^2]=\mathbb{E}[Y]=p_Y, daí \mathrm{Var}(Y)=p_Y-p_Y^2=p_Y(1-p_Y).
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma_Y=\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}.
Aplicando números:
\mathrm{Var}(Y)=0,68256\cdot(1-0,68256)=0,68256\cdot 0,31744=0,2166718464.
Tomando a raiz quadrada:
\sigma_Y=\sqrt{0,2166718464}\approx 0,4655.

Passo 7

Resumo numérico final (já calculado nos passos anteriores):
  • pmf de Y: \mathbb{P}(Y=0)=0,31744, \mathbb{P}(Y=1)=0,68256.
  • Desvio padrão do ganho semanal: aproximadamente 0,4655.

Resposta

(a) \mathbb{P}(Y=0)=0,31744,\\ \mathbb{P}(Y=1)=0,68256
(b) \sigma_Y\approx 0,4655

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