Augusto é o gerente de uma loja que tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio semanal. As vendas dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6.
(a) Determine a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.
(b) Determine o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.
(a) Determine a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.
(b) Determine o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação: Augusto tem
carros para vender. - Informação: As vendas de cada carro são independentes e a probabilidade de vender cada carro é
. - Regra do prêmio: Se Augusto vender até
carros (ou seja, ou ), ele não recebe prêmio; se vender , ou carros, ele recebe um prêmio semanal. - Pergunta (a): Determinar a função massa de probabilidade (pmf) do prêmio semanal ganho por Augusto.
- Pergunta (b): Determinar o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.
Observação importante que vou assumir para modelar a questão (não pedirei mais informações): vou representar o “prêmio semanal” por uma variável aleatória indicadora
que vale
quando Augusto recebe o prêmio (ou seja, vende
carros) e vale
quando não recebe o prêmio. Assim a pmf pedida será a distribuição de
.
Passo 2
Modelagem: primeiro modelamos o número de carros vendidos. Seja
o número de carros vendidos entre os
. Como as vendas são independentes e cada carro é vendido com probabilidade
,
tem distribuição binomial com parâmetros
e
. Escrevemos:
A fórmula da probabilidade binomial é: para
,
Aqui
é o coeficiente binomial que conta as maneiras de escolher quais
carros foram vendidos; seus valores são
.
Passo 3
Calcular as probabilidades necessárias para decidir se o prêmio é pago (precisamos de
e
). Vou calcular
explicitamente.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora somo esses três para obter
:
Passo 4
Calcular
, que é a probabilidade de Augusto ganhar o prêmio. Usei a relação complementar:
(Se quiser conferir, podemos também somar
; os cálculos dão
, mesma coisa.)
Passo 5
Defino formalmente a variável do prêmio:
A função massa de probabilidade (pmf) de
é então:
Passo 6
Agora o desvio padrão do ganho semanal: como
é Bernoulli com parâmetro
, conhecemos as fórmulas básicas (vou explicar como e porquê):
- A esperança (média) de uma Bernoulli é
. Aqui . - A variância de uma Bernoulli é
. Isso vem da definição , e como para variáveis que só valem ou , temos , daí . - O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
.
Aplicando números:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 7
Resumo numérico final (já calculado nos passos anteriores):
- pmf de
: , . - Desvio padrão do ganho semanal: aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(b)