Ex. 4 Augusto é o gerente de uma revendedora de carros. Toda semana ele tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio de \mathrm{R} \ 500,00$ por cada carro vendido. As chances de venda dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6 .
(a) Determine a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.
(b) Determine o desvio padrão do ganho semanal de Augusto.

Passo 1

O problema dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações do enunciado:
    • Augusto tem 5 carros para vender por semana.
    • Cada carro é vendido com probabilidade 0,6, e as vendas dos carros são independentes.
    • Se ele vender até 2 carros (ou seja, 0,1 ou 2 carros), o prêmio extra é \text{R\$ }0.
    • Se ele vender 3 ou mais carros, ele recebe um prêmio de \text{R\$}500 por carro vendido. Logo, se vender k carros com k\ge 3, o prêmio é \text{R\$ }(500\cdot k).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a função massa de probabilidade (PMF) do prêmio semanal de Augusto.
    • (b) Determinar o desvio padrão do ganho semanal (ou seja, do prêmio).

Passo 2

Modelagem e fórmula básica (binomial):
  • Seja X a variável aleatória “número de carros vendidos” na semana. Como há 5 tentativas independentes e cada carro tem probabilidade 0,6 de ser vendido, temos X \sim \text{Binomial}(n=5,\; p=0,6).
  • A fórmula da probabilidade binomial é: \mathbb{P}(X=k)=\binom{5}{k} (0,6)^k (0,4)^{5-k},\qquad k=0,1,2,3,4,5,onde \binom{5}{k} é o número de maneiras de escolher quais k carros foram vendidos.
  • Agora vamos calcular \mathbb{P}(X=k) para cada k. Usamos q=1-p=0,4.
Cálculos (mostrando passo a passo):
\begin{aligned} \mathbb{P}(X=0)&=\binom{5}{0}(0,6)^0(0,4)^5=1\cdot 1\cdot 0,4^5=0,4^5=0,01024,\\[4pt] \mathbb{P}(X=1)&=\binom{5}{1}(0,6)^1(0,4)^4=5\cdot 0,6\cdot 0,4^4=5\cdot0,6\cdot0,0256=0,0768,\\[4pt] \mathbb{P}(X=2)&=\binom{5}{2}(0,6)^2(0,4)^3=10\cdot0,36\cdot0,064=0,2304,\\[4pt] \mathbb{P}(X=3)&=\binom{5}{3}(0,6)^3(0,4)^2=10\cdot0,216\cdot0,16=0,3456,\\[4pt] \mathbb{P}(X=4)&=\binom{5}{4}(0,6)^4(0,4)^1=5\cdot0,1296\cdot0,4=0,2592,\\[4pt] \mathbb{P}(X=5)&=\binom{5}{5}(0,6)^5(0,4)^0=1\cdot0,07776\cdot1=0,07776. \end{aligned}
(Verificação rápida: a soma das probabilidades é 0,01024+0,0768+0,2304+0,3456+0,2592+0,07776=1.)]

Passo 3

Definir a variável do prêmio [Y) e obter a PMF de Y:
  • Definimos Y como o prêmio semanal (em reais). A regra do prêmio é: Y=\begin{cases} 0, &\text{se }X\in\{0,1,2\},\\[4pt] 500\cdot X, &\text{se }X\in\{3,4,5\}. \end{cases}Assim Y\] só pode assumir os valores \(\text{R\$}0,\\ \text{R\$ }1500,\\ \text{R\$}2000,\\ \text{R\$ }2500.
  • A PMF de Y vem diretamente das probabilidades de X: \begin{aligned} \mathbb{P}(Y=0)&=\mathbb{P}(X\le 2)=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)\\\ &=0,01024+0,0768+0,2304=0,31744,\\[4pt] \mathbb{P}\big(Y=\text{R\$ }1500\big)&=\mathbb{P}(X=3)=0,3456,\\[4pt] \mathbb{P}\big(Y=\text{R\$ }2000\big)&=\mathbb{P}(X=4)=0,2592,\\[4pt] \mathbb{P}\big(Y=\text{R\$ }2500\big)&=\mathbb{P}(X=5)=0,07776. \end{aligned}]

Passo 4

Cálculo do valor esperado \mathbb{E}[Y] (ensinando o conceito):
  • Conceito: a esperança (valor esperado) de uma variável discreta é a soma dos valores possíveis vezes suas probabilidades: \mathbb{E}[Y]=\sum_{y} y\cdot \mathbb{P}(Y=y).
  • Aplicando ao nosso Y: \begin{aligned} \mathbb{E}[Y] &=0\cdot 0,31744 + 1500\cdot 0,3456 + 2000\cdot 0,2592 + 2500\cdot 0,07776\\[4pt] &=1500\cdot 0,3456 + 2000\cdot 0,2592 + 2500\cdot 0,07776\\[4pt] &=518,4 + 518,4 + 194,4=1231,2. \end{aligned}Portanto \mathbb{E}[Y]=1231,2 (reais).]

Passo 5

Cálculo de \mathbb{E}[Y^2] (segundo momento), necessário para a variância:
  • Conceito: \mathbb{E}[Y^2]=\sum_y y^2 \mathbb{P}(Y=y).
  • Calculemos: \begin{aligned} \mathbb{E}[Y^2] &=0^2\cdot 0,31744 + 1500^2\cdot 0,3456 + 2000^2\cdot 0,2592 + 2500^2\cdot 0,07776\\[4pt] &=2250000\cdot 0,3456 + 4000000\cdot 0,2592 + 6250000\cdot 0,07776\\[4pt] &=777600 + 1036800 + 486000 = 2300400. \end{aligned}]

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão (passo a passo):
  • A variância é \operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2] - (\mathbb{E}[Y])^2.
  • Já temos \mathbb{E}[Y^2]=2300400 e \mathbb{E}[Y]=1231,2. Então (\mathbb{E}[Y])^2 = 1231,2^2 = 1515853,44,e \operatorname{Var}(Y)=2300400 - 1515853,44 = 784546,56.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma_Y = \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} = \sqrt{784546,56} \approx 885,75.

Resposta

(a) \mathbb{P}(Y= \text{R\$ }0)=0,31744
\mathbb{P}(Y= \text{R\$ }1500)=0,3456
\mathbb{P}(Y= \text{R\$ }2000)=0,2592
\mathbb{P}(Y= \text{R\$ }2500)=0,07776
(b) Desvio padrão \sigma_Y \approx 885,75 (reais)

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