Ex. 8 Suponha que, quando uma máquina está ajustada corretamente,
dos itens por ela produzidos sejam de alta qualidade e os outros
sejam de qualidade média. Suponha, porém, que a máquina esteja desajustada durante
do tempo e que, nessas condições,
dos itens produzidos sejam de alta qualidade e
sejam de qualidade média.
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?
(b) Suponha que um item adicional, produzido pela máquina no mesmo momento em que os outros cinco itens, seja selecionado e verifiquese que é de qualidade média. Qual é a nova probabilidade a posteriori de que a máquina estivesse ajustada corretamente?
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?
(b) Suponha que um item adicional, produzido pela máquina no mesmo momento em que os outros cinco itens, seja selecionado e verifiquese que é de qualidade média. Qual é a nova probabilidade a posteriori de que a máquina estivesse ajustada corretamente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas:
-
Informações fornecidas:
- A máquina está ajustada corretamente em
do tempo e desajustada em do tempo. Ou seja, - Se a máquina está ajustada, a probabilidade de um item ser de alta qualidade é
e de qualidade média é . - Se a máquina está desajustada, a probabilidade de um item ser de alta qualidade é
e de qualidade média é .
- A máquina está ajustada corretamente em
-
O que é pedido:
- (a) Dados cinco itens selecionados ao acaso naquele momento e observados: quatro de alta qualidade e um de qualidade média, calcular a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada naquele momento, isto é,
- (b) Agora suponha que um sexto item (produzido no mesmo momento) é inspecionado e é de qualidade média. Com a informação adicional (quatro altas e duas médias no total), calcular a nova probabilidade a posteriori de que a máquina estivesse ajustada, isto é,
- (a) Dados cinco itens selecionados ao acaso naquele momento e observados: quatro de alta qualidade e um de qualidade média, calcular a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada naquele momento, isto é,
Passo 2
Vamos usar a ideia principal de raciocínio condicional: para decidir se a máquina estava ajustada ao observar os itens, comparamos a chance de obter os dados observados sob cada hipótese (ajustada ou desajustada) e combinamos isso com as probabilidades iniciais (priors). A fórmula que usamos é a fórmula de Bayes; escrevo ela aqui para ficar claro o que cada termo significa:
onde:
-
é a hipótese (por exemplo, “máquina ajustada”), -
é o dado observado (por exemplo, “4 altas e 1 média”), -
é a probabilidade a priori da hipótese, -
é a probabilidade de observar assumindo (chamada verossimilhança ou likelihood), -
é a probabilidade total de observar , somando as contribuições de todas as hipóteses:
Vou aplicar essa fórmula com
“ajustada” e
“desajustada”. Agora precisamos calcular
e
para os dados nos dois itens (5 observações e depois 6 observações).
Passo 3
Explicando como calcular
quando observamos um conjunto de itens independentes: como cada item é produzido independentemente (condicional ao estado da máquina) e cada item tem probabilidade
de ser “alta” e
de ser “média”, a probabilidade de obter exatamente
itens de alta em
observações é dada pela distribuição binomial:
onde
é o coeficiente binomial e conta de quantas maneiras diferentes podem ocorrer os
sucessos entre
tentativas:
Vou usar isso para calcular as verossimilhanças nos dois estados da máquina.
Passo 4
Parte (a): primeiro calculamos a verossimilhança de observar exatamente quatro itens de alta e um de média em
observações.
- Se a máquina está ajustada:
. Então Calculemos passo a passo:
Logo
- Se a máquina está desajustada:
e . Então Calculemos:
Portanto
Passo 5
Ainda para (a): agora aplicamos Bayes. A probabilidade total de observar os dados (quatro altas e uma média) é
Substituindo os valores:
Vou transformar para frações exatas para simplificar:
e
. Então
Calculemos cada termo:
Somando com denominador comum
:
Agora a probabilidade a posteriori pedida é
Substituindo o numerador
, temos
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 6
Interpretação rápida do resultado da parte (a): mesmo que haja uma pequena chance da máquina estar desajustada, a observação de quatro itens de alta qualidade entre cinco é muito mais provável se a máquina estivesse ajustada (
versus
), então a probabilidade a posteriori de que a máquina estava ajustada sobe muito:
(aprox.
).
Passo 7
Parte (b): Agora consideramos que foi observado um item adicional (produzido no mesmo momento) e ele é de qualidade média. Assim o total observado passa a ser
com
itens de alta e
de média. Repetimos o mesmo procedimento (pode-se ver também como atualizar a resposta anterior multiplicando pela verossimilhança do novo dado, mas eu refaço do zero para ficar claro).
- Verossimilhança quando ajustada (
):
então
- Verossimilhança quando desajustada (
, ): Calculemos: Logo
Passo 8
Ainda para (b): apliquei Bayes novamente. A probabilidade total de observar os dados (4 altas e 2 médias) é
Usando frações exatas com
e
:
Calculemos:
Com denominador comum
:
A posteriori pedida é
Simplificando: dividir por
dá
, e dividir por
dá
. Assim
Passo 9
Comentário final rápido (motivador): a observação do sexto item sendo média reduz um pouco a confiança de que a máquina estava ajustada (de
para
), mas ainda permanece muito alta porque, mesmo com esse item adicional, o padrão observado (4 altas em 6) é bem mais provável quando a máquina está ajustada do que quando está desajustada.
Resposta
(a)
\n(b)