Ex. 8 Suponha que, quando uma máquina está ajustada corretamente, 50 \% dos itens por ela produzidos sejam de alta qualidade e os outros 50 \% sejam de qualidade média. Suponha, porém, que a máquina esteja desajustada durante 10 \% do tempo e que, nessas condições, 25 \% dos itens produzidos sejam de alta qualidade e 75 \% sejam de qualidade média.
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?
(b) Suponha que um item adicional, produzido pela máquina no mesmo momento em que os outros cinco itens, seja selecionado e verifiquese que é de qualidade média. Qual é a nova probabilidade a posteriori de que a máquina estivesse ajustada corretamente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • A máquina está ajustada corretamente em 90\% do tempo e desajustada em 10\% do tempo. Ou seja, P(\text{ajustada})=0,90,\qquad P(\text{desajustada})=0,10.
    • Se a máquina está ajustada, a probabilidade de um item ser de alta qualidade é 0,5 e de qualidade média é 0,5.
    • Se a máquina está desajustada, a probabilidade de um item ser de alta qualidade é 0,25 e de qualidade média é 0,75.
  • O que é pedido:
    • (a) Dados cinco itens selecionados ao acaso naquele momento e observados: quatro de alta qualidade e um de qualidade média, calcular a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada naquele momento, isto é, P(\text{ajustada} \mid \text{4 altas e 1 média}).é
    • (b) Agora suponha que um sexto item (produzido no mesmo momento) é inspecionado e é de qualidade média. Com a informação adicional (quatro altas e duas médias no total), calcular a nova probabilidade a posteriori de que a máquina estivesse ajustada, isto é, P(\text{ajustada} \mid \text{4 altas e 2 médias}).é

Passo 2

Vamos usar a ideia principal de raciocínio condicional: para decidir se a máquina estava ajustada ao observar os itens, comparamos a chance de obter os dados observados sob cada hipótese (ajustada ou desajustada) e combinamos isso com as probabilidades iniciais (priors). A fórmula que usamos é a fórmula de Bayes; escrevo ela aqui para ficar claro o que cada termo significa:
P(H\mid D)=\frac{P(H)\,P(D\mid H)}{P(D)},
onde:
  • H é a hipótese (por exemplo, “máquina ajustada”),
  • D é o dado observado (por exemplo, “4 altas e 1 média”),
  • P(H) é a probabilidade a priori da hipótese,
  • P(D\mid H) é a probabilidade de observar D assumindo H (chamada verossimilhança ou likelihood),
  • P(D) é a probabilidade total de observar D, somando as contribuições de todas as hipóteses:
P(D)=P(H)P(D\mid H)+P(H^c)P(D\mid H^c).
Vou aplicar essa fórmula com H= “ajustada” e H^c= “desajustada”. Agora precisamos calcular P(D\mid H) e P(D\mid H^c) para os dados nos dois itens (5 observações e depois 6 observações).

Passo 3

Explicando como calcular P(D\mid H) quando observamos um conjunto de itens independentes: como cada item é produzido independentemente (condicional ao estado da máquina) e cada item tem probabilidade p de ser “alta” e 1-p de ser “média”, a probabilidade de obter exatamente k itens de alta em n observações é dada pela distribuição binomial:
P(\text{exatamente }k \text{ altas em } n)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial e conta de quantas maneiras diferentes podem ocorrer os k sucessos entre n tentativas:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Vou usar isso para calcular as verossimilhanças nos dois estados da máquina.

Passo 4

Parte (a): primeiro calculamos a verossimilhança de observar exatamente quatro itens de alta e um de média em n=5 observações.
  • Se a máquina está ajustada: p=P(\text{alta}\mid\text{ajustada})=0,5. Então P(\text{4 altas e 1 média}\mid\text{ajustada})=\binom{5}{4}(0,5)^{4}(0,5)^{1}.éCalculemos passo a passo: \binom{5}{4}=5,
(0,5)^{4}(0,5)^{1}=(0,5)^{5}=\frac{1}{32}.
Logo
P(\text{4 altas e 1 média}\mid\text{ajustada})=5\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{32}.é
  • Se a máquina está desajustada: p=P(\text{alta}\mid\text{desajustada})=0,25 e 1-p=0,75. Então P(\text{4 altas e 1 média}\mid\text{desajustada})=\binom{5}{4}(0,25)^{4}(0,75)^{1}.éCalculemos: (0,25)^{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{4}=\frac{1}{256},
(0,75)^{1}=\frac{3}{4}.
Portanto
P(\text{4 altas e 1 média}\mid\text{desajustada})=5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4}=5\cdot\frac{3}{1024}=\frac{15}{1024}.é

Passo 5

Ainda para (a): agora aplicamos Bayes. A probabilidade total de observar os dados (quatro altas e uma média) é
P(D)=P(\text{ajustada})\cdot P(D\mid\text{ajustada})+P(\text{desajustada})\cdot P(D\mid\text{desajustada}).
Substituindo os valores:
P(D)=0,90\cdot\frac{5}{32}+0,10\cdot\frac{15}{1024}.
Vou transformar para frações exatas para simplificar: 0,90=\tfrac{9}{10} e 0,10=\tfrac{1}{10}. Então
P(D)=\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{32}+\frac{1}{10}\cdot\frac{15}{1024}.
Calculemos cada termo:
\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{32}=\frac{45}{320}=\frac{9}{64},
\frac{1}{10}\cdot\frac{15}{1024}=\frac{15}{10240}.
Somando com denominador comum 10240:
P(D)=\frac{9}{64}+\frac{15}{10240}=\frac{1440}{10240}+\frac{15}{10240}=\frac{1455}{10240}.
Agora a probabilidade a posteriori pedida é
P(\text{ajustada}\mid D)=\frac{P(\text{ajustada})P(D\mid\text{ajustada})}{P(D)}=\frac{\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{32}}{\frac{1455}{10240}}.
Substituindo o numerador \frac{9}{10}\cdot\frac{5}{32}=\frac{9}{64}=\frac{1440}{10240}, temos
P(\text{ajustada}\mid D)=\frac{1440/10240}{1455/10240}=\frac{1440}{1455}.
Simplificando a fração dividindo por 15:
\frac{1440}{1455}=\frac{96}{97}\approx 0,98969.

Passo 6

Interpretação rápida do resultado da parte (a): mesmo que haja uma pequena chance da máquina estar desajustada, a observação de quatro itens de alta qualidade entre cinco é muito mais provável se a máquina estivesse ajustada ( \tfrac{5}{32} versus \tfrac{15}{1024}), então a probabilidade a posteriori de que a máquina estava ajustada sobe muito: \tfrac{96}{97} (aprox. 98,97\%).

Passo 7

Parte (b): Agora consideramos que foi observado um item adicional (produzido no mesmo momento) e ele é de qualidade média. Assim o total observado passa a ser n=6 com k=4 itens de alta e 2 de média. Repetimos o mesmo procedimento (pode-se ver também como atualizar a resposta anterior multiplicando pela verossimilhança do novo dado, mas eu refaço do zero para ficar claro).
  • Verossimilhança quando ajustada ( p=0,5): P(\text{4 altas e 2 médias}\mid\text{ajustada})=\binom{6}{4}(0,5)^{4}(0,5)^{2}=\binom{6}{4}(0,5)^{6}.é
\binom{6}{4}=15,\qquad (0,5)^{6}=\frac{1}{64},
então
P(\text{4 altas e 2 médias}\mid\text{ajustada})=15\cdot\frac{1}{64}=\frac{15}{64}.é
  • Verossimilhança quando desajustada ( p=0,25, 1-p=0,75): P(\text{4 altas e 2 médias}\mid\text{desajustada})=\binom{6}{4}(0,25)^{4}(0,75)^{2}.éCalculemos: (0,25)^{4}=\frac{1}{256},\qquad (0,75)^{2}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}.Logo P(\text{4 altas e 2 médias}\mid\text{desajustada})=15\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{9}{16}=15\cdot\frac{9}{4096}=\frac{135}{4096}.é

Passo 8

Ainda para (b): apliquei Bayes novamente. A probabilidade total de observar os dados (4 altas e 2 médias) é
P(D)=0,90\cdot\frac{15}{64}+0,10\cdot\frac{135}{4096}.
Usando frações exatas com 0,90=\tfrac{9}{10} e 0,10=\tfrac{1}{10}:
P(D)=\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{64}+\frac{1}{10}\cdot\frac{135}{4096}.
Calculemos:
\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{64}=\frac{135}{640}=\frac{27}{128},
\frac{1}{10}\cdot\frac{135}{4096}=\frac{135}{40960}.
Com denominador comum 40960:
P(D)=\frac{27}{128}+\frac{135}{40960}=\frac{8640}{40960}+\frac{135}{40960}=\frac{8775}{40960}.
A posteriori pedida é
P(\text{ajustada}\mid D)=\frac{\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{64}}{P(D)}=\frac{27/128}{8775/40960}=\frac{8640/40960}{8775/40960}=\frac{8640}{8775}.
Simplificando: dividir por 15 \tfrac{576}{585}, e dividir por 9 \tfrac{64}{65}. Assim
P(\text{ajustada}\mid\text{4 altas e 2 médias})=\frac{64}{65}\approx 0,98462.é

Passo 9

Comentário final rápido (motivador): a observação do sexto item sendo média reduz um pouco a confiança de que a máquina estava ajustada (de \tfrac{96}{97} para \tfrac{64}{65}), mas ainda permanece muito alta porque, mesmo com esse item adicional, o padrão observado (4 altas em 6) é bem mais provável quando a máquina está ajustada do que quando está desajustada.

Resposta

(a) \dfrac{96}{97}\approx 0,98969\n(b) \dfrac{64}{65}\approx 0,98462

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