(Aula 1) Resolva o seguinte P.V.I:
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
com a condição inicial
O que se pede é encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. Importante notar que foi dado
, então podemos dividir por
ou por
sem problema (não há divisão por zero).
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais simples, dividindo ambos os lados por
(válido porque
):
Aqui reescrevemos a equação como
onde
e
.
Agora a ideia (explicação didática): para equações desse tipo multiplica-se por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Esse fator é dado por
A justificativa curta: se
satisfaz
, então
ou seja, multiplicando a equação original por
obtemos uma derivada exata no lado esquerdo.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
onde usei que
para poder simplificar
.
Multiplicando a equação por
tem-se
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Portanto a equação fica
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
obtém-se
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação (para ter certeza e também aprender como checar rapidamente): calcular
a partir de
. Escrever
e usar a regra do produto:
Multiplicando por
e somando
obtemos
que é exatamente a equação original. Portanto a solução encontrada está correta para
.