(Aula 1) Resolva o seguinte P.V.I:
x^{2} y^{\prime}+x y=x \cos x, x>0 \text { e } y(2)=0

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
x^{2}y'(x)+x y(x)=x\cos x,\qquad x>0,
com a condição inicial
y(2)=0.
O que se pede é encontrar a função y(x) definida para x>0 que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. Importante notar que foi dado x>0, então podemos dividir por x ou por x^{2} sem problema (não há divisão por zero).

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais simples, dividindo ambos os lados por \,x^{2}\, (válido porque x>0):
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=\frac{\cos x}{x}.
Aqui reescrevemos a equação como
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
onde \,p(x)=\dfrac{1}{x}\, e \,q(x)=\dfrac{\cos x}{x}\,.
Agora a ideia (explicação didática): para equações desse tipo multiplica-se por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x). Esse fator é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A justificativa curta: se \mu satisfaz \mu'=\mu p, então
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\big(y'+p y\big),
ou seja, multiplicando a equação original por \mu obtemos uma derivada exata no lado esquerdo.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
onde usei que x>0 para poder simplificar \exp(\ln x)=x.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x tem-se
x y'(x)+y(x)=\cos x.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y(x):
(xy(x))' = x y'(x)+y(x).
Portanto a equação fica
(xy(x))'=\cos x.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int (xy(x))'\,dx=\int \cos x\,dx \quad\Rightarrow\quad xy(x)=\sin x + C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x)=\frac{\sin x + C}{x}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(2)=0. Substituindo x=2 obtém-se
0=y(2)=\frac{\sin 2 + C}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin 2 + C=0\quad\Rightarrow\quad C=-\sin 2.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{\sin x - \sin 2}{x}.

Passo 6

Verificação (para ter certeza e também aprender como checar rapidamente): calcular y'(x) a partir de y(x)=\dfrac{\sin x - \sin 2}{x}. Escrever y(x)=(\sin x - \sin 2)\,x^{-1} e usar a regra do produto:
y'(x)=\cos x\cdot x^{-1}+(\sin x - \sin 2)\cdot(-1)x^{-2}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x - \sin 2}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2} e somando x y(x) obtemos
x^{2}y'(x)+x y(x)=x\cos x-(\sin x-\sin 2)+(\sin x-\sin 2)=x\cos x,
que é exatamente a equação original. Portanto a solução encontrada está correta para x>0.

Resposta

y(x)=\frac{\sin x - \sin 2}{x}

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