Em uma aula de matemática, foi solicitada aos alunos a resolução do seguinte exercício: “Paula comprou um cofre e criou uma senha formada por 4 algarismos distintos. Lembrava-se apenas do primeiro, 8, e sabia que o algarismo 3 também fazia parte da senha. Qual é o número máximo de tentativas para ela abrir o cofre?”. Percorrendo as carteiras, o professor verificou diferentes raciocínios combinatórios. Apresentamos, a seguir, cinco deles.
Aluno A: A_{8,2}+C_{8,2}.
Aluno B: 3. A_{8,2}.
Aluno C: 3. C_{8,2}.
Aluno D: 3. P_{8}.
Aluno E: A_{8,2} \cdot C_{8,2}.
Assinale a alternativa que indica o aluno que apresentou o raciocínio correto para a resolução da questão.
(A) Aluno A.
(B) Aluno B.
(C) Aluno C.
(D) Aluno D.
(E) Aluno E.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Paula criou uma senha com \,4\, algarismos distintos.
  • Ela lembra que o primeiro algarismo é \,8\,.
  • Ela sabe que o algarismo \,3\, também faz parte da senha (pode estar na segunda, terceira ou quarta posição).
  • Os algarismos são os dígitos decimais \,0,1,2,\dots,9, ou seja, há \,10\, algarismos possíveis no total.
  • A pergunta: qual é o número máximo de tentativas para ela abrir o cofre? (Isto é, quantas senhas diferentes satisfazem as condições dadas.)

Passo 2

Vamos revisar conceitos básicos de contagem que vou usar (explicando tudo devagarinho).
  • Princípio multiplicativo simples: se uma ação pode ser feita de \,m\, maneiras e, para cada uma dessas, outra ação pode ser feita de \,n\, maneiras, então fazer as duas ações em sequência pode ser feito de \,m\cdot n\, maneiras.
  • Fatorial e arranjos:
    • Fatorial: \,n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 1\,. Ex.: \,3! = 6\,.
    • Arranjo/permutação de \,n\, elementos tomados \,k\, a \,k\, (denotado \,A_{n,k} ou \,P(n,k)): número de sequências ordenadas de comprimento \,k\, formadas sem repetição a partir de \,n\, objetos. Fórmula: A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}.Exemplo simples: \,A_{8,2} = 8\cdot7 = 56\, (escolher primeiro elemento de 8 maneiras, o segundo de 7 maneiras).
  • Combinação:
    • \,C_{n,k} é o número de subconjuntos de tamanho \,k\, escolhidos dentre \,n\, elementos (a ordem não importa): C_{n,k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.Ex.: \,C_{8,2}=\dfrac{8\cdot7}{2}=28\,.
  • Relação prática: se escolhe \,k\, elementos sem ordem ( \,C_{n,k}) e depois se permuta esses \,k\, elementos nas \,k!\, ordens possíveis, obtém-se \,C_{n,k}\cdot k! = A_{n,k}.

Passo 3

Agora modelamos o problema passo a passo e contamos as possibilidades.
  • O primeiro algarismo já está fixo como \,8\,. Então não temos opções para a primeira posição: ela está determinada.
  • Restam \,3\, posições (segunda, terceira e quarta) a preencher, e nelas deve aparecer o algarismo \,3\, exatamente em uma dessas posições (pelo enunciado sabemos que \,3\, está presente; como os dígitos são distintos, \,3\, aparece em uma única posição entre as três restantes).
  • Estratégia direta (muito intuitiva e simples):
    1. Escolher a posição onde ficará o algarismo \,3: há \,3\, escolhas (segunda, terceira ou quarta).
    2. Nas \,2\, posições restantes (das três ainda livres) colocar dois algarismos distintos escolhidos entre os digitos restantes que não podem ser nem \,8\, nem \,3. Quantos dígitos restam para escolher? Dos \,10\, dígitos originais já excluímos \,8\, e \,3, sobrando \,8\, dígitos possíveis.
    3. Como a ordem nas duas posições importa (são posições diferentes), o número de maneiras de escolher e ordenar esses dois dígitos distintos é \,A_{8,2}.
  • Aplicando o princípio multiplicativo: número total de senhas possíveis é 3 \times A_{8,2}.
  • Calculemos \,A_{8,2}: A_{8,2} = 8\cdot7 = 56.Portanto 3\times A_{8,2} = 3\times56 = 168.

Passo 4

Mostro uma contagem alternativa equivalente (para reforçar o entendimento):
  • Outra forma: entre as \,8\, dígitos possíveis (excluindo \,8\, e \,3) escolho \,2\, dígitos para completar a senha: \,C_{8,2} = 28 escolhas de quais serão esses dois dígitos. Após escolher esses dois, tenho ao todo \,3\, dígitos para colocar nas três posições restantes (o \,3\, fixo estando entre elas e os dois escolhidos); esses \,3\, dígitos podem ser permutados em \,3! = 6\, ordens. Assim o total é C_{8,2}\cdot 3! = 28\cdot6 = 168.
  • Note que \,C_{8,2}\cdot 3! = 3\cdot A_{8,2} porque \,\dfrac{8\cdot7}{2}\cdot6 = 8\cdot7\cdot3 = 3\cdot(8\cdot7).

Passo 5

Agora comparo o resultado com os raciocínios dos alunos dados no enunciado (interpetando o ponto como multiplicação quando aparece como \,3. antes de uma expressão):
  • \,A_{8,2} = 56\,.
  • \,C_{8,2} = 28\,.
  • Verificações:
    • Aluno A: A_{8,2}+C_{8,2}=56+28=84 (não corresponde a \,168\,).
    • Aluno B: 3\cdot A_{8,2}=3\cdot56=168 (corresponde ao que encontramos).
    • Aluno C: 3\cdot C_{8,2}=3\cdot28=84 (não corresponde).
    • Aluno D: 3\cdot P_{8} (a notação P_8 normalmente seria 8!, e 3\cdot8! é absurdamente maior que \,168\,, logo não é correta).
    • Aluno E: A_{8,2}\cdot C_{8,2}=56\cdot28=1568 (não corresponde).
Portanto o raciocínio correto, que dá \,168\, possibilidades, é o do Aluno B.

Resposta

(B)

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