Em uma aula de matemática, foi solicitada aos alunos a resolução do seguinte exercício: “Paula comprou um cofre e criou uma senha formada por 4 algarismos distintos. Lembrava-se apenas do primeiro, 8, e sabia que o algarismo 3 também fazia parte da senha. Qual é o número máximo de tentativas para ela abrir o cofre?”. Percorrendo as carteiras, o professor verificou diferentes raciocínios combinatórios. Apresentamos, a seguir, cinco deles.
Aluno A:
.
Aluno B: 3.
.
Aluno C: 3.
.
Aluno D: 3.
.
Aluno E:
.
Assinale a alternativa que indica o aluno que apresentou o raciocínio correto para a resolução da questão.
(A) Aluno A.
(B) Aluno B.
(C) Aluno C.
(D) Aluno D.
(E) Aluno E.
Aluno B: 3.
Aluno C: 3.
Aluno D: 3.
Aluno E:
Assinale a alternativa que indica o aluno que apresentou o raciocínio correto para a resolução da questão.
(A) Aluno A.
(B) Aluno B.
(C) Aluno C.
(D) Aluno D.
(E) Aluno E.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Paula criou uma senha com
algarismos distintos. - Ela lembra que o primeiro algarismo é
. - Ela sabe que o algarismo
também faz parte da senha (pode estar na segunda, terceira ou quarta posição). - Os algarismos são os dígitos decimais
, ou seja, há algarismos possíveis no total. - A pergunta: qual é o número máximo de tentativas para ela abrir o cofre? (Isto é, quantas senhas diferentes satisfazem as condições dadas.)
Passo 2
Vamos revisar conceitos básicos de contagem que vou usar (explicando tudo devagarinho).
- Princípio multiplicativo simples: se uma ação pode ser feita de
maneiras e, para cada uma dessas, outra ação pode ser feita de maneiras, então fazer as duas ações em sequência pode ser feito de maneiras. - Fatorial e arranjos:
- Fatorial:
. Ex.: . - Arranjo/permutação de
elementos tomados a (denotado ou ): número de sequências ordenadas de comprimento formadas sem repetição a partir de objetos. Fórmula: Exemplo simples: (escolher primeiro elemento de 8 maneiras, o segundo de 7 maneiras).
- Fatorial:
- Combinação:
-
é o número de subconjuntos de tamanho escolhidos dentre elementos (a ordem não importa): Ex.: .
-
- Relação prática: se escolhe
elementos sem ordem ( ) e depois se permuta esses elementos nas ordens possíveis, obtém-se .
Passo 3
Agora modelamos o problema passo a passo e contamos as possibilidades.
- O primeiro algarismo já está fixo como
. Então não temos opções para a primeira posição: ela está determinada. - Restam
posições (segunda, terceira e quarta) a preencher, e nelas deve aparecer o algarismo exatamente em uma dessas posições (pelo enunciado sabemos que está presente; como os dígitos são distintos, aparece em uma única posição entre as três restantes). - Estratégia direta (muito intuitiva e simples):
- Escolher a posição onde ficará o algarismo
: há escolhas (segunda, terceira ou quarta). - Nas
posições restantes (das três ainda livres) colocar dois algarismos distintos escolhidos entre os digitos restantes que não podem ser nem nem . Quantos dígitos restam para escolher? Dos dígitos originais já excluímos e , sobrando dígitos possíveis. - Como a ordem nas duas posições importa (são posições diferentes), o número de maneiras de escolher e ordenar esses dois dígitos distintos é
.
- Escolher a posição onde ficará o algarismo
- Aplicando o princípio multiplicativo: número total de senhas possíveis é
- Calculemos
: Portanto
Passo 4
Mostro uma contagem alternativa equivalente (para reforçar o entendimento):
- Outra forma: entre as
dígitos possíveis (excluindo e ) escolho dígitos para completar a senha: escolhas de quais serão esses dois dígitos. Após escolher esses dois, tenho ao todo dígitos para colocar nas três posições restantes (o fixo estando entre elas e os dois escolhidos); esses dígitos podem ser permutados em ordens. Assim o total é - Note que
porque .
Passo 5
Agora comparo o resultado com os raciocínios dos alunos dados no enunciado (interpetando o ponto como multiplicação quando aparece como
antes de uma expressão):
-
. -
. - Verificações:
- Aluno A:
(não corresponde a ). - Aluno B:
(corresponde ao que encontramos). - Aluno C:
(não corresponde). - Aluno D:
(a notação normalmente seria , e é absurdamente maior que , logo não é correta). - Aluno E:
(não corresponde).
- Aluno A:
Portanto o raciocínio correto, que dá
possibilidades, é o do Aluno B.
Resposta
(B)