Na sequência crescente de todos os números obtidos, permutando-se os algarismos 1, 2, 3, 7, 8, a posição do número 78.312 é a
(A) \quad 94^{\mathrm{a}}.
(B) \quad 95^{a}.
(C) \quad 96^{a}.
(D) \quad 97^{a}.
(E) \quad 98^{a}.

Passo 1

O enunciado dá os dígitos 1,2,3,7,8 e pede: na lista crescente (isto é, em ordem numérica ascendente) de todos os números formados pelas permutações desses cinco algarismos, qual é a posição do número 78\,312.
Informações relevantes:
  • Os cinco algarismos são distintos: 1,2,3,7,8.
  • O total de permutações possíveis é 5! = 120.
  • Precisamos contar quantos números, entre essas permutações, são estritamente menores que 78\,312; então a posição de 78\,312 será esse total mais 1.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): ordenar números em ordem crescente corresponde a ordenar lexicograficamente pelos dígitos da esquerda para a direita. Para achar a posição de um número como 78\,312, vamos fixar dígito a dígito e contar quantas permutações começam por um prefixo que garanta um número menor.
Fórmula/fato usado:
  • Se já fixei k dígitos iniciais, o número de permutações possíveis dos dígitos restantes é (5-k)!.
  • Por exemplo, se fixo apenas o primeiro dígito, há 4! números para cada escolha do primeiro dígito; se fixo os dois primeiros, há 3! números para cada escolha dos dois primeiros, etc.
Explicando o fatorial de forma simples:
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1.
  • Exemplos: 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1.
Agora aplicamos esse procedimento a 78\,312.

Passo 3

Contar números com primeiro dígito menor que 7.
Dígitos disponíveis (ordenados): 1,2,3,7,8.
Primeiro dígito pode ser 1,2,3 para produzir um número menor que os que começam por 7. Para cada escolha do primeiro dígito há permutações livres dos outros 4 dígitos, portanto 4! = 24 números por escolha.
Cálculo:
\text{números com 1ª cifra }<7 = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72.úª

Passo 4

Agora consideramos os números que começam com 7 (como o nosso número) e contamos, entre esses, quantos têm o segundo dígito menor que 8.
Depois de usar o 7, os dígitos restantes são 1,2,3,8. Para o segundo dígito menores que 8 temos as escolhas 1,2,3 — são 3 opções. Para cada uma dessas, os 3 dígitos restantes podem ser permutados livremente: 3! = 6 permutações cada.
Cálculo:
\text{números com prefixo }7\_ \text{ e 2ª cifra }<8 = 3 \times 3! = 3 \times 6 = 18.úª
Acumulado até aqui: 72 + 18 = 90 números estritamente menores que qualquer número que comece por 78.

Passo 5

Agora fixamos os dois primeiros dígitos 78 (igual ao nosso) e contamos quantos têm o terceiro dígito menor que 3.
Depois de usar 7,8, os dígitos restantes são 1,2,3. O terceiro dígito do número dado é 3. Dígitos menores que 3 entre os restantes são 1 e 2: são 2 opções. Para cada escolha do terceiro dígito há permutações dos últimos 2 dígitos: 2! = 2.
Cálculo:
\text{números com prefixo }78\_ \text{ e 3ª cifra }<3 = 2 \times 2! = 2 \times 2 = 4.úª
Acumulado até aqui: 90 + 4 = 94 números estritamente menores que qualquer número que comece por 783.

Passo 6

Agora fixamos os três primeiros dígitos 783 (igual ao nosso) e contamos quantos têm o quarto dígito menor que 1.
Depois de usar 7,8,3, os dígitos restantes são 1,2. O quarto dígito do número dado é 1. Entre os restantes, dígitos menores que 1 não existem. Logo há 0 números com o quarto dígito menores que 1.
Cálculo:
\text{números com prefixo }783\_ \text{ e 4ª cifra }<1 = 0.úª
Acumulado permanece 94.

Passo 7

Com os quatro primeiros dígitos 7831 fixos, resta apenas um dígito ( 2), então não há números diferentes com esse mesmo prefixo antes de 78312. Portanto o número 78\,312 é exatamente o próximo após os 94 números menores.
Posição final:
\text{posição de }78\,312 = 94 + 1 = 95.çã

Resposta

95^{\mathrm{a}}

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