Na sequência crescente de todos os números obtidos, permutando-se os algarismos 1, 2, 3, 7, 8, a posição do número 78.312 é a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá os dígitos
e pede: na lista crescente (isto é, em ordem numérica ascendente) de todos os números formados pelas permutações desses cinco algarismos, qual é a posição do número
.
Informações relevantes:
- Os cinco algarismos são distintos:
. - O total de permutações possíveis é
. - Precisamos contar quantos números, entre essas permutações, são estritamente menores que
; então a posição de será esse total mais .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): ordenar números em ordem crescente corresponde a ordenar lexicograficamente pelos dígitos da esquerda para a direita. Para achar a posição de um número como
, vamos fixar dígito a dígito e contar quantas permutações começam por um prefixo que garanta um número menor.
Fórmula/fato usado:
- Se já fixei
dígitos iniciais, o número de permutações possíveis dos dígitos restantes é . - Por exemplo, se fixo apenas o primeiro dígito, há
números para cada escolha do primeiro dígito; se fixo os dois primeiros, há números para cada escolha dos dois primeiros, etc.
Explicando o fatorial de forma simples:
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto . - Exemplos:
, , , .
Agora aplicamos esse procedimento a
.
Passo 3
Contar números com primeiro dígito menor que
.
Dígitos disponíveis (ordenados):
.
Primeiro dígito pode ser para produzir um número menor que os que começam por
. Para cada escolha do primeiro dígito há permutações livres dos outros
dígitos, portanto
números por escolha.
Primeiro dígito pode ser
Cálculo:
Passo 4
Agora consideramos os números que começam com
(como o nosso número) e contamos, entre esses, quantos têm o segundo dígito menor que
.
Depois de usar o
, os dígitos restantes são
. Para o segundo dígito menores que
temos as escolhas
— são
opções. Para cada uma dessas, os
dígitos restantes podem ser permutados livremente:
permutações cada.
Cálculo:
Acumulado até aqui:
números estritamente menores que qualquer número que comece por
.
Passo 5
Agora fixamos os dois primeiros dígitos
(igual ao nosso) e contamos quantos têm o terceiro dígito menor que
.
Depois de usar
, os dígitos restantes são
. O terceiro dígito do número dado é
. Dígitos menores que
entre os restantes são
e
: são
opções. Para cada escolha do terceiro dígito há permutações dos últimos
dígitos:
.
Cálculo:
Acumulado até aqui:
números estritamente menores que qualquer número que comece por
.
Passo 6
Agora fixamos os três primeiros dígitos
(igual ao nosso) e contamos quantos têm o quarto dígito menor que
.
Depois de usar
, os dígitos restantes são
. O quarto dígito do número dado é
. Entre os restantes, dígitos menores que
não existem. Logo há
números com o quarto dígito menores que
.
Cálculo:
Acumulado permanece
.
Passo 7
Com os quatro primeiros dígitos
fixos, resta apenas um dígito (
), então não há números diferentes com esse mesmo prefixo antes de
. Portanto o número
é exatamente o próximo após os
números menores.
Posição final: