Em uma rifa com 50 números, 4 serão premiados. Comprando-se 3 números dessa rifa, a probabilidade de nenhum ser premiado é de, aproximadamente,
(A) 74 \%.
(B) 75 \%.
(C) 76 \%.
(D) 77 \%.
(E) 78 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 50 números na rifa.
  • Serão premiados 4 números entre esses 50.
  • Uma pessoa compra 3 números.
    A pergunta pede a probabilidade de que nenhum dos 3 números comprados seja premiado (ou seja, todos os 3 sejam números não premiados). As alternativas são percentuais aproximados.

Passo 2

Ideia de contagem (por que esse método funciona).
Quando todos os subconjuntos de 3 números são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
\text{Prob}=\frac{\text{nº de escolhas de 3 números sem premiados}}{\text{nº total de escolhas de 3 números}}.ºúºú
Aqui:
  • O nº total de maneiras de escolher 3 números entre 50 é dado por \displaystyle \binom{50}{3}.
  • O nº de maneiras de escolher 3 números todos não premiados: há 50-4=46 números não premiados, então \displaystyle \binom{46}{3}.
    Lembre: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} e conta quantos subconjuntos de k elementos existem num conjunto de n.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade com combinações:
\text{Prob}=\frac{\binom{46}{3}}{\binom{50}{3}}.
Desenvolvendo as combinações (cancelando 3! nos denominadores):
\binom{46}{3}=\frac{46\cdot45\cdot44}{3\cdot2\cdot1},\qquad \binom{50}{3}=\frac{50\cdot49\cdot48}{3\cdot2\cdot1},
logo
\text{Prob}=\frac{46\cdot45\cdot44}{50\cdot49\cdot48}.

Passo 4

Explicação alternativa (mesma resposta, visão por etapas): pensar como uma sequência de sorteios sem reposição.
  • Probabilidade de o primeiro número não ser premiado: \dfrac{46}{50}.
  • Dado isso, probabilidade do segundo também não ser premiado: \dfrac{45}{49}.
  • Dado isso, probabilidade do terceiro também não ser premiado: \dfrac{44}{48}.
    Multiplicando: \dfrac{46}{50}\cdot\dfrac{45}{49}\cdot\dfrac{44}{48}, que é algebraicamente igual à fração do passo anterior.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
Multiplicando direto obtemos
\text{Prob}=\frac{46\cdot45\cdot44}{50\cdot49\cdot48}.
Calculemos numeradores e denominadores de forma simples:
46\cdot45\cdot44=91080,\qquad 50\cdot49\cdot48=117600.
Portanto
\text{Prob}=\frac{91080}{117600}.
Para simplificar divido cima e baixo por 120:
\frac{91080}{117600}=\frac{759}{980}.
Agora o decimal:
\frac{759}{980}\approx0{,}7744897959\ldots
Convertendo para porcentagem:
0{,}774489\ldots \times 100\% \approx 77{,}4489\%.
Arredondando para a porcentagem mais próxima das alternativas dá aproximadamente 77\%.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida: a resposta também poderia ser obtida mentalmente usando a multiplicação \dfrac{46}{50}\cdot\dfrac{45}{49}\cdot\dfrac{44}{48} e observando que o resultado fica pouco abaixo de 0{,}78. Boa! Isso significa que, comprando 3 números, a chance de não ganhar é alta (cerca de 77\%), então não desanima: ainda há uma chance razoável de ganhar.

Resposta

(D) 77\%

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