Em uma rifa com 50 números, 4 serão premiados. Comprando-se 3 números dessa rifa, a probabilidade de nenhum ser premiado é de, aproximadamente,
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
números na rifa. - Serão premiados
números entre esses . - Uma pessoa compra
números.
A pergunta pede a probabilidade de que nenhum dosnúmeros comprados seja premiado (ou seja, todos os sejam números não premiados). As alternativas são percentuais aproximados.
Passo 2
Ideia de contagem (por que esse método funciona).
Quando todos os subconjuntos de números são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
Quando todos os subconjuntos de
Aqui:
- O nº total de maneiras de escolher
números entre é dado por . - O nº de maneiras de escolher
números todos não premiados: há números não premiados, então .
Lembre:e conta quantos subconjuntos de elementos existem num conjunto de .
Passo 3
Escrevendo a probabilidade com combinações:
Desenvolvendo as combinações (cancelando
nos denominadores):
logo
Passo 4
Explicação alternativa (mesma resposta, visão por etapas): pensar como uma sequência de sorteios sem reposição.
- Probabilidade de o primeiro número não ser premiado:
. - Dado isso, probabilidade do segundo também não ser premiado:
. - Dado isso, probabilidade do terceiro também não ser premiado:
.
Multiplicando:, que é algebraicamente igual à fração do passo anterior.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo.
Multiplicando direto obtemos
Multiplicando direto obtemos
Calculemos numeradores e denominadores de forma simples:
Portanto
Para simplificar divido cima e baixo por
:
Agora o decimal:
Convertendo para porcentagem:
Arredondando para a porcentagem mais próxima das alternativas dá aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação final e dica rápida: a resposta também poderia ser obtida mentalmente usando a multiplicação
e observando que o resultado fica pouco abaixo de
. Boa! Isso significa que, comprando 3 números, a chance de não ganhar é alta (cerca de
), então não desanima: ainda há uma chance razoável de ganhar.
Resposta
(D)