Em uma bandeja A, havia 3 pastéis sem azeitona e 5 com azeitona. Já na bandeja B, havia 2 pastéis sem azeitona e 3 com azeitona. Dois pastéis foram retirados aleatoriamente, um de cada bandeja. Ao comê-los, observou-se que apenas um deles não continha azeitona. Nessas condições, a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido retirado da bandeja A é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há duas bandejas, A e B.
- Na bandeja A há
pastéis sem azeitona e com azeitona. Logo o total em A é . - Na bandeja B há
pastéis sem azeitona e com azeitona. Logo o total em B é . - Foi retirado um pastel de cada bandeja (um da A e um da B) e observou-se que, ao todo, apenas um dos dois pastéis não continha azeitona (ou seja, exatamente um sem azeitona entre os dois).
- A pergunta: nessas condições, qual é a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido o retirado da bandeja A?
Passo 2
Defino eventos úteis e calculemos as probabilidades básicas (essas vêm diretamente das contagens dadas).
- Seja
o evento “o pastel retirado da bandeja A não tem azeitona”. Então
porque há
sem azeitona entre
em A.
- Seja
o evento “o pastel retirado da bandeja A tem azeitona”. Então
- Seja
o evento “o pastel retirado da bandeja B não tem azeitona”. Então
- Seja
o evento “o pastel retirado da bandeja B tem azeitona”. Então
Explicação rápida: essas probabilidades são simplesmente a razão entre o número favorável e o número total na respectiva bandeja.
Passo 3
Descrever o evento observado (“apenas um não continha azeitona”) em termos dos eventos acima e calcular sua probabilidade.
- O evento “exatamente um sem azeitona” (vou chamar de
) acontece em dois casos mutuamente exclusivos: -
e (A sem azeitona e B com azeitona), ou -
e (A com azeitona e B sem azeitona).
-
Logo
e como os dois casos são mutuamente exclusivos,
- As retiradas são independentes entre bandejas (o que se tira em A não afeta B), então
- Somando,
Passo 4
Aplicar probabilidade condicional para achar a probabilidade pedida.
- Queremos a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido o retirado da bandeja A, dado que exatamente um não tinha azeitona. Em notação, queremos
- A definição de probabilidade condicional é
Aqui
é exatamente o caso
(porque para
e “exatamente um sem azeitona” precisaríamos que o de B tivesse azeitona). Portanto
- Substituindo,
Passo 5
Interpretação rápida e checagem intuitiva: as probabilidades dos dois casos que geram exatamente um sem azeitona são
(quando o sem azeitona vem de A) e
(quando vem de B). Dado que ocorreu um desses casos, a chance de ter sido o caso A é
, consistente com o cálculo formal.
Resposta
E)