Em uma bandeja A, havia 3 pastéis sem azeitona e 5 com azeitona. Já na bandeja B, havia 2 pastéis sem azeitona e 3 com azeitona. Dois pastéis foram retirados aleatoriamente, um de cada bandeja. Ao comê-los, observou-se que apenas um deles não continha azeitona. Nessas condições, a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido retirado da bandeja A é
(A) \frac{9}{40}.
(B) \frac{9}{39}.
(C) \frac{9}{29}.
(D) \frac{9}{24}.
(E) \frac{9}{19}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há duas bandejas, A e B.
  • Na bandeja A há 3 pastéis sem azeitona e 5 com azeitona. Logo o total em A é 3+5=8.
  • Na bandeja B há 2 pastéis sem azeitona e 3 com azeitona. Logo o total em B é 2+3=5.
  • Foi retirado um pastel de cada bandeja (um da A e um da B) e observou-se que, ao todo, apenas um dos dois pastéis não continha azeitona (ou seja, exatamente um sem azeitona entre os dois).
  • A pergunta: nessas condições, qual é a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido o retirado da bandeja A?

Passo 2

Defino eventos úteis e calculemos as probabilidades básicas (essas vêm diretamente das contagens dadas).
  • Seja N_A o evento “o pastel retirado da bandeja A não tem azeitona”. Então
P(N_A)=\frac{3}{8}
porque há 3 sem azeitona entre 8 em A.
  • Seja O_A o evento “o pastel retirado da bandeja A tem azeitona”. Então
P(O_A)=\frac{5}{8}.
  • Seja N_B o evento “o pastel retirado da bandeja B não tem azeitona”. Então
P(N_B)=\frac{2}{5}.
  • Seja O_B o evento “o pastel retirado da bandeja B tem azeitona”. Então
P(O_B)=\frac{3}{5}.
Explicação rápida: essas probabilidades são simplesmente a razão entre o número favorável e o número total na respectiva bandeja.

Passo 3

Descrever o evento observado (“apenas um não continha azeitona”) em termos dos eventos acima e calcular sua probabilidade.
  • O evento “exatamente um sem azeitona” (vou chamar de E) acontece em dois casos mutuamente exclusivos:
    1. N_A e O_B (A sem azeitona e B com azeitona), ou
    2. O_A e N_B (A com azeitona e B sem azeitona).
Logo
E = (N_A\cap O_B)\\ \cup\\ (O_A\cap N_B),
e como os dois casos são mutuamente exclusivos,
P(E)=P(N_A\cap O_B)+P(O_A\cap N_B).
  • As retiradas são independentes entre bandejas (o que se tira em A não afeta B), então
P(N_A\cap O_B)=P(N_A)\cdot P(O_B)=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{40}.
P(O_A\cap N_B)=P(O_A)\cdot P(N_B)=\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}.
  • Somando,
P(E)=\frac{9}{40}+\frac{10}{40}=\frac{19}{40}.

Passo 4

Aplicar probabilidade condicional para achar a probabilidade pedida.
  • Queremos a probabilidade de que o pastel sem azeitona tenha sido o retirado da bandeja A, dado que exatamente um não tinha azeitona. Em notação, queremos
P(N_A \mid E).
  • A definição de probabilidade condicional é
P(N_A\mid E)=\frac{P(N_A\cap E)}{P(E)}.
Aqui N_A\cap E é exatamente o caso N_A\cap O_B (porque para N_A e “exatamente um sem azeitona” precisaríamos que o de B tivesse azeitona). Portanto
P(N_A\cap E)=P(N_A\cap O_B)=\frac{9}{40}.
  • Substituindo,
P(N_A\mid E)=\frac{\dfrac{9}{40}}{\dfrac{19}{40}}=\frac{9}{19}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem intuitiva: as probabilidades dos dois casos que geram exatamente um sem azeitona são \tfrac{9}{40} (quando o sem azeitona vem de A) e \tfrac{10}{40} (quando vem de B). Dado que ocorreu um desses casos, a chance de ter sido o caso A é \tfrac{9}{9+10}=\tfrac{9}{19}, consistente com o cálculo formal.

Resposta

E) \dfrac{9}{19}

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