A vida média de uma determinada substância, analisada por um pesquisador, é de 4 dias, o que significa dizer que a metade de qualquer quantidade dessa substância irá se desintegrar em 4 dias. Supondo que a massa inicial m de uma amostra dessa substância seja de 1 grama, assinale a alternativa correta. (Dado:
)
(A) A massa restante, após 32 dias, é de, aproximadamente,
.
(B) A massa restante, após t dias, é dada por
.
(C) A função m admite inversa e é dada por
.
(D) A função inversa de m significa o tempo que falta para reduzir m gramas da substância analisada.
(E) O tempo necessário para que a massa inicial se reduza a
é menor do que 27 dias.
(A) A massa restante, após 32 dias, é de, aproximadamente,
(B) A massa restante, após t dias, é dada por
(C) A função m admite inversa e é dada por
(D) A função inversa de m significa o tempo que falta para reduzir m gramas da substância analisada.
(E) O tempo necessário para que a massa inicial se reduza a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dado: a vida média (meia-vida) da substância é de
dias, isto é, após dias metade da massa se desintegra. - Dado: massa inicial
grama. - Dado:
(isto indica que o enunciado quer que usemos logaritmo decimal quando necessário). - O enunciado apresenta cinco alternativas
a . É preciso verificar quais são verdadeiras/false e escolher a alternativa correta (assumindo que há uma única correta).
Informações relevantes extraídas:
- A lei de decaimento com meia-vida dada implica uma função exponencial para a massa em função do tempo.
- Precisaremos escrever a função
, calcular , encontrar a inversa e calcular o tempo para .
Passo 2
Derivar a fórmula da massa em função do tempo a partir da meia-vida e explicar o conceito (aula curta e prática).
- Conceito: se uma quantidade tem meia-vida
, isso significa que a cada intervalo de tempo a massa é multiplicada por . Com comportamento contínuo e constante de proporção, a lei é exponencial. - Fórmula geral para meia-vida
: . - Aqui
= massa no tempo . -
= massa inicial. -
= meia-vida. - O expoente
conta quantas meias-vidas se passaram.
- Aqui
- Aplicando
e , obtemos: - Comentário prático: se
então (confere a meia-vida); se então , etc.
Passo 3
Verificar a alternativa (A): “A massa restante, após 32 dias, é de, aproximadamente,
.”
- Usar a função encontrada:
. - Calcular
. - Valor decimal:
. - Comparando com
, vemos que é muito menor que . - Conclusão: a alternativa (A) é falsa.
Passo 4
Verificar a alternativa (B): “A massa restante, após t dias, é dada por
.”
- A alternativa corresponderia a meia-vida
dia, porque . - Mas a meia-vida dada no enunciado é
dias, e nós deduzimos . - Portanto
está incorreta para a meia-vida de dias. - Conclusão: a alternativa (B) é falsa.
Passo 5
Encontrar a inversa da função
e checar (C) e (D). Explicação didática sobre inversa e logaritmo.
- Começamos de
. Queremos em função de : . - Tomando logaritmo decimal (já que nos deram
), usamos a identidade . Assim: Resolver para : - Interpretando a fórmula:
-
é o logaritmo decimal da massa . -
é o logaritmo decimal de , dado como . - A expressão dá o tempo
necessário para que a massa atinja o valor .
-
- Verificação da alternativa (C): “A função m admite inversa e é dada por
.” - A inversa existe, mas a expressão correta com logaritmo decimal é
, não simplesmente . - A igualdade
só seria correta se o símbolo representasse logaritmo base (isto é, ), pois então . Mas o enunciado explicitamente dá , indicando que aqui é decimal; portanto (C) está incorreta.
- A inversa existe, mas a expressão correta com logaritmo decimal é
- Interpretação da alternativa (D): “A função inversa de m significa o tempo que falta para reduzir m gramas da substância analisada.”
- A inversa
dá o tempo necessário para que a massa chegue ao valor gramas (isto é, o tempo para reduzir a massa até gramas). - A frase em (D) usa a expressão “tempo que falta para reduzir m gramas”, que é ambígua: pode ser interpretada como (i) tempo para reduzir até
gramas (correto), ou (ii) tempo para reduzir por uma quantidade igual a gramas (isto é, perder gramas a partir da massa atual), que é outra coisa. - Como a alternativa não é precisa e pode ser lida como “reduzir por
gramas” (o que seria incorreto para a inversa), e considerando o estilo rigoroso dessas questões, essa redação está enganosa e não corresponde corretamente ao conceito de inversa (que é tempo para atingir a massa ). Por isso, (D) deve ser considerada incorreta por ambiguidade/imprecisão.
- A inversa
Passo 6
Calcular o tempo necessário para que a massa se reduza a
e verificar (E).
- Usar a fórmula inversa obtida:
- Substituir
. Primeiro (pois ). - Usar
. Então - Calcular numericamente:
- Comparar com
dias: . - Conclusão: a alternativa (E) é verdadeira.
Passo 7
Resumo final das alternativas:
- (A) Falsa (calculamos
, não ). - (B) Falsa (forma correta é
, não ). - (C) Falsa (a inversa correta em log decimal é
, logo está incorreto sob a convenção decimal). - (D) Incorreta/ambígua pela redação; a inversa dá o tempo para atingir a massa
, e a frase emprega uma expressão ambígua que pode ser lida de forma errada — portanto não deve ser considerada correta num teste objetivo. - (E) Verdadeira (tempo para
é aproximadamente dias, menor que dias).
Resposta
(E)