A vida média de uma determinada substância, analisada por um pesquisador, é de 4 dias, o que significa dizer que a metade de qualquer quantidade dessa substância irá se desintegrar em 4 dias. Supondo que a massa inicial m de uma amostra dessa substância seja de 1 grama, assinale a alternativa correta. (Dado: \log 2=0,3010 )
(A) A massa restante, após 32 dias, é de, aproximadamente, 0,062 \mathrm{~g}.
(B) A massa restante, após t dias, é dada por m(t)=2^{-t}.
(C) A função m admite inversa e é dada por t=-4 \log m.
(D) A função inversa de m significa o tempo que falta para reduzir m gramas da substância analisada.
(E) O tempo necessário para que a massa inicial se reduza a 0,01 \mathrm{~g} é menor do que 27 dias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dado: a vida média (meia-vida) da substância é de 4 dias, isto é, após 4 dias metade da massa se desintegra.
  • Dado: massa inicial m_0=1 grama.
  • Dado: \log 2 = 0,3010 (isto indica que o enunciado quer que usemos logaritmo decimal quando necessário).
  • O enunciado apresenta cinco alternativas (A) a (E). É preciso verificar quais são verdadeiras/false e escolher a alternativa correta (assumindo que há uma única correta).
Informações relevantes extraídas:
  • A lei de decaimento com meia-vida dada implica uma função exponencial para a massa em função do tempo.
  • Precisaremos escrever a função m(t), calcular m(32), encontrar a inversa t(m) e calcular o tempo para m=0,01\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Derivar a fórmula da massa em função do tempo a partir da meia-vida e explicar o conceito (aula curta e prática).
  • Conceito: se uma quantidade tem meia-vida T_{1/2}, isso significa que a cada intervalo de tempo T_{1/2} a massa é multiplicada por 1/2. Com comportamento contínuo e constante de proporção, a lei é exponencial.
  • Fórmula geral para meia-vida T_{1/2}: \displaystyle m(t)=m_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.
    • Aqui m(t) = massa no tempo t.
    • m_0 = massa inicial.
    • T_{1/2} = meia-vida.
    • O expoente t/T_{1/2} conta quantas meias-vidas se passaram.
  • Aplicando m_0=1 e T_{1/2}=4, obtemos: m(t)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/4}=2^{-t/4}.
  • Comentário prático: se t=4 então m(4)=2^{-1}=1/2 (confere a meia-vida); se t=8 então m(8)=2^{-2}=1/4, etc.

Passo 3

Verificar a alternativa (A): “A massa restante, após 32 dias, é de, aproximadamente, 0,062\\ \mathrm{g}.”
  • Usar a função encontrada: m(32)=2^{-32/4}=2^{-8}.
  • Calcular 2^{-8}=\dfrac{1}{2^{8}}=\dfrac{1}{256}.
  • Valor decimal: \dfrac{1}{256}=0,00390625.
  • Comparando com 0,062, vemos que 0,00390625 é muito menor que 0,062.
  • Conclusão: a alternativa (A) é falsa.

Passo 4

Verificar a alternativa (B): “A massa restante, após t dias, é dada por m(t)=2^{-t}.”
  • A alternativa corresponderia a meia-vida T_{1/2}=1 dia, porque 2^{-t}=(1/2)^t=(1/2)^{t/1}.
  • Mas a meia-vida dada no enunciado é 4 dias, e nós deduzimos m(t)=2^{-t/4}.
  • Portanto m(t)=2^{-t} está incorreta para a meia-vida de 4 dias.
  • Conclusão: a alternativa (B) é falsa.

Passo 5

Encontrar a inversa da função m(t) e checar (C) e (D). Explicação didática sobre inversa e logaritmo.
  • Começamos de m(t)=2^{-t/4}. Queremos t em função de m: m=2^{-t/4}.
  • Tomando logaritmo decimal (já que nos deram \log 2), usamos a identidade \log 2^{-t/4} = (-t/4)\log 2. Assim: \log m = -\frac{t}{4}\log 2.Resolver para t: t = -4\,\frac{\log m}{\log 2}.
  • Interpretando a fórmula:
    • \log m é o logaritmo decimal da massa m.
    • \log 2 é o logaritmo decimal de 2, dado como 0,3010.
    • A expressão dá o tempo t necessário para que a massa atinja o valor m.
  • Verificação da alternativa (C): “A função m admite inversa e é dada por t=-4\log m.”
    • A inversa existe, mas a expressão correta com logaritmo decimal é t=-4\,\dfrac{\log m}{\log 2}, não simplesmente t=-4\log m.
    • A igualdade t=-4\log m só seria correta se o símbolo \log representasse logaritmo base 2 (isto é, \log_2), pois então \log_2 m = \dfrac{\log m}{\log 2}. Mas o enunciado explicitamente dá \log 2 = 0,3010, indicando que \log aqui é decimal; portanto (C) está incorreta.
  • Interpretação da alternativa (D): “A função inversa de m significa o tempo que falta para reduzir m gramas da substância analisada.”
    • A inversa m^{-1}(y) dá o tempo necessário para que a massa chegue ao valor y gramas (isto é, o tempo para reduzir a massa até y gramas).
    • A frase em (D) usa a expressão “tempo que falta para reduzir m gramas”, que é ambígua: pode ser interpretada como (i) tempo para reduzir até m gramas (correto), ou (ii) tempo para reduzir por uma quantidade igual a m gramas (isto é, perder m gramas a partir da massa atual), que é outra coisa.
    • Como a alternativa não é precisa e pode ser lida como “reduzir por m gramas” (o que seria incorreto para a inversa), e considerando o estilo rigoroso dessas questões, essa redação está enganosa e não corresponde corretamente ao conceito de inversa (que é tempo para atingir a massa m). Por isso, (D) deve ser considerada incorreta por ambiguidade/imprecisão.

Passo 6

Calcular o tempo necessário para que a massa se reduza a 0,01\\ \mathrm{g} e verificar (E).
  • Usar a fórmula inversa obtida: t = -4\,\frac{\log m}{\log 2}.
  • Substituir m=0,01. Primeiro \log 0,01 = -2 (pois 0,01=10^{-2}).
  • Usar \log 2 = 0,3010. Então t = -4\,\frac{-2}{0,3010} = \frac{8}{0,3010}.
  • Calcular numericamente: t \approx \frac{8}{0,3010} \approx 26{,}58\\ \text{dias}.
  • Comparar com 27 dias: 26{,}58 < 27.
  • Conclusão: a alternativa (E) é verdadeira.

Passo 7

Resumo final das alternativas:
  • (A) Falsa (calculamos m(32)=2^{-8}=1/256\approx0,00390625, não 0,062).
  • (B) Falsa (forma correta é m(t)=2^{-t/4}, não 2^{-t}).
  • (C) Falsa (a inversa correta em log decimal é t=-4\,\dfrac{\log m}{\log 2}, logo t=-4\log m está incorreto sob a convenção decimal).
  • (D) Incorreta/ambígua pela redação; a inversa dá o tempo para atingir a massa m, e a frase emprega uma expressão ambígua que pode ser lida de forma errada — portanto não deve ser considerada correta num teste objetivo.
  • (E) Verdadeira (tempo para m=0,01\\ \mathrm{g} é aproximadamente 26{,}58 dias, menor que 27 dias).

Resposta

(E)

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