A auto-energia potencial gravitacional de uma bola sólida de densidade de massa \rho e raio R é E. Dessa forma, a auto-energia potencial de uma esfera de densidade de massa \rho e raio 2 R será: Dado: A auto-energia é a diferença de energia entre a situação em que o corpo está formado e a situação imaginária em que suas partes estão infinitamente dispersas
(A) 2 E
(B) 4 E
(C) 8 E
(D) 16 E
(E) 32 E

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial gravitacional de autopotencial de uma esfera sólida homogênea de densidade \rho e raio R como E. Queremos encontrar a mesma energia para outra esfera de mesma densidade \rho e raio 2R. O conteúdo é a fórmula da energia de autopotencial de uma esfera uniforme, que podemos obter lembrando que
U = -\frac{3}{5}\,\frac{G\,M^2}{R}
e que a massa M de uma esfera homogênea é M=\tfrac{4}{3}\pi R^3\rho.

Passo 2

Expressamos U em função de \rho e R. Como
M = \frac{4}{3}\,\pi R^3\rho \quad\Longrightarrow\quad M^2 = \frac{16}{9}\,\pi^2 R^6\rho^2,
substituindo em U=-(3/5)\,GM^2/R obtemos
U = -\frac{3}{5}\,G\,\frac{\tfrac{16}{9}\pi^2 R^6\rho^2}{R} = -\frac{16}{15}\,\pi^2 G\,\rho^2\,R^5.

Passo 3

Para o raio dobrado 2R, a expressão vira
U(2R) = -\frac{16}{15}\,\pi^2 G\,\rho^2\,(2R)^5 = 2^5\biggl(-\frac{16}{15}\,\pi^2 G\,\rho^2\,R^5\biggr) = 32\,U(R).
Como U(R)=E, temos U(2R)=32\,E.

Resposta

\E 32E)

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