Uma pulga está no solo horizontal. Ela deseja saltar por cima de um cubo de aresta L forma que caia no solo sem tocar no cubo. Determine a menor velocidade necessária para realizar esse feito.
a) \sqrt{g L}
b) \sqrt{2 g L}
c) \sqrt{3 g L}
d) \sqrt{5 g L}
e) \sqrt{6 g L}

Passo 1

O enunciado diz que uma pulga, partindo do solo em x=0, quer saltar um cubo de aresta L (ocupando 0\le x\le L, 0\le y\le L) e aterrissar no solo sem tocar o cubo. O conteúdo é movimento de projétil com gravidade g. Vamos usar a equação da trajetória
y(x)=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v^2\cos^2\theta}
e impor que em x=L tenhamos y(L)\ge L, procurando a menor v.

Passo 2

Impondo a condição de não tocar o topo do cubo, escrevemos
y(L)=L\tan\theta-\frac{g\,L^2}{2v^2\cos^2\theta}\;\ge\;L.
Rearranjando para isolar v^2, note que \cos^2\theta=1/(1+\tan^2\theta). Definindo T=\tan\theta, temos
L\,T-\frac{g\,L^2}{2v^2}\,(1+T^2)\;=\;L \quad\Longrightarrow\quad \frac{g\,L^2}{2v^2}(1+T^2)=L\,(T-1)
\Longrightarrow v^2=\frac{g\,L\,(1+T^2)}{2\,(T-1)}.

Passo 3

Para encontrar a menor v compatível, minimizamos a função
f(T)=\frac{1+T^2}{2\,(T-1)},\quad T>1.
Derivando e igualando a zero obtém-se
T_{\rm ideal}=1+\sqrt{2},
e daí
v_{\min}^2 =\;g\,L\;\frac{1+(1+\sqrt2)^2}{2\bigl((1+\sqrt2)-1\bigr)} =\;(1+\sqrt2)\,g\,L.

Passo 4

Numericamente 1+\sqrt2\approx2,414. Das opções dadas, a menor que supera esse valor é aquela com v^2=3\,g\,L, pois
3>1+\sqrt2\approx2,414>2.

Resposta

\displaystyle\sqrt{3\,g\,L} (alternativa (c))

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