Duas esferas 1 e 2 idênticas e de massa m cada, estão unidas por uma haste rígida de comprimento L e massa desprezível. Elas são abandonadas com a haste na horizontal a uma altura h do solo também horizontal. Sabendo que os coeficientes de restituição das esferas com o solo são \mathrm{e}_{1} e \mathrm{e}_{2}\left(\mathrm{e}_{1}>\mathrm{e}_{2}\right), determine a velocidade angular da haste logo após o impacto com o solo. A aceleração da gravidade é g.
a) \frac{\left(e_{1}-e_{2}\right)}{L} \sqrt{2 g h}
b) \frac{\left(e_{1}+e_{2}\right)}{L} \sqrt{2 g h}
c) \frac{\left(e_{1}-e_{2}\right)}{L} \sqrt{g h}
d) \frac{\left(e_{1}+e_{2}\right)}{2 L} \sqrt{2 g h}
e) \frac{2\left(e_{1}-e_{2}\right)}{L} \sqrt{g h}

Passo 1

O enunciado descreve duas esferas idênticas, cada uma de massa m, ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L. Ambas são abandonadas horizontalmente a uma altura h e caem com velocidade vertical de impacto
v_0 = \sqrt{2gh}.
As esferas colidem simultaneamente com o solo, tendo coeficientes de restituição \,e_1 e \,e_2, com e_1>e_2. Precisamos determinar a velocidade angular \omega da haste logo após o impacto. O conteúdo principal aqui é impulso e momento de inércia de um sistema de duas massas simétricas.

Passo 2

Cada esfera sofre um impulso vertical para cima no impacto. Para a esfera i (com i=1,2) temos
v_i' = e_i\,v_0,
logo o impulso J_i satisfaz
J_i = m\bigl(v_i' - (-v_0)\bigr) = m\,v_0\,(1+e_i).

Passo 3

A haste mais esferas pode rodar em torno de seu centro de massa. Como as esferas estão nos extremos, o momento de inércia total em relação ao centro é
I = m\Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)^2 + m\Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)^2 = \frac{mL^2}{2}.

Passo 4

O impulso J_1 aplicado a +L/2 e J_2 aplicado a -L/2 produzem torque resultante que gera momento angular \Delta L dado por
\Delta L = \Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)J_1 \;-\;\Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)J_2 = \frac{L}{2}\,m\,v_0\bigl[(1+e_1)-(1+e_2)\bigr] = \frac{L}{2}\,m\,v_0\,(e_1-e_2).

Passo 5

Pela definição de impulso de torque, \Delta L = I\,\omega. Assim,
\omega = \frac{\Delta L}{I} = \frac{\frac{L}{2}\,m\,v_0\,(e_1-e_2)}{\frac{mL^2}{2}} = \frac{v_0\,(e_1-e_2)}{L} = \frac{e_1 - e_2}{L}\,\sqrt{2gh}.

Resposta

\displaystyle \boxed{\omega = \frac{e_{1}-e_{2}}{L}\,\sqrt{2gh}} (alternativa a)

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