Num circuito RLC série, R=80 \Omega; L=40 \mathrm{mH} e C=4,8 \mu \mathrm{~F}. No instante t=0 a corrente é dada por q=Q \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right). Determine:
(a) a impedância do circuito;
(b) a amplitude e a fase da corrente;
(c) o circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo?

Passo 1

Temos um circuito série RLC com \displaystyle R=80\\ \Omega, \displaystyle L=40\,\mathrm{mH}=4,0\times10^{-2}\,\mathrm{H} e \displaystyle C=4,8\,\mu\mathrm{F}=4,8\times10^{-6}\,\mathrm{F},
alimentado por uma tensão senoidal de frequência angular \omega_{0}.
O enunciado indica que a resposta (carga ou corrente) é do tipo \displaystyle q=Q\cos(\omega_{0}t+\varphi).
O que vamos usar é o método de impedâncias para regime permanente senoidal, onde \displaystyle Z=R+j\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr), \displaystyle X_{L}=\omega_{0}L e \displaystyle X_{C}=1/(\omega_{0}C).

Passo 2

Primeiro notamos que a letra \omega_{0} é justamente a frequência de operação. Se for a frequência de ressonância, então
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} =\frac{1}{\sqrt{(4{,}0\times10^{-2})(4{,}8\times10^{-6})}} \approx2284\\ \text{rad/s}.
Nesse caso
X_{L}=\omega_{0}L \approx2284\times4{,}0\times10^{-2} \approx91{,}4\\ \Omega,
X_{C}=\frac{1}{\omega_{0}C} \approx\frac{1}{2284\times4{,}8\times10^{-6}} \approx91{,}4\\ \Omega.
Logo \displaystyle X_{L}=X_{C}.

Passo 3

A impedância do circuito é
Z=R+j\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr) =80+j\,(91{,}4-91{,}4) =80+j0 =80\\ \Omega.

Passo 4

A amplitude da corrente em regime permanente é
I=\frac{V_{0}}{\lvert Z\rvert} =\frac{V_{0}}{80}
(e o enunciado chamou essa amplitude de Q, se estiver se referindo à corrente).
O ângulo de fase entre tensão e corrente é
\varphi =-\arctan\!\biggl(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\biggr) =-\arctan\!\bigl(0/80\bigr) =0.

Passo 5

Como \displaystyle X_{L}=X_{C}, o circuito é puramente resistivo em \omega_{0}.
Não há excesso de reatância indutiva nem capacitiva.

Resposta

(a) \displaystyle Z=80\\ \Omega
(b) \displaystyle I=\frac{V_{0}}{80},\\ \varphi=0
(c) Nem capacitivo nem indutivo (circuito puramente resistivo)

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