Seja
e a considere a operação binária em
definida por
Prove que
é um grupo para esta operação. Mostre que o grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, ou seja, todos os números reais exceto
. A operação binária definida em
é
. Nosso objetivo é provar que
forma um grupo e, além disso, mostrar que esse grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
Fechamento: Precisamos mostrar que se
e
estão em
, então
também está em
.
Calculando
. Precisamos garantir que
.
Suponha que
:
Como
e
estão em
,
e
, então
e
. Portanto,
, garantindo que
está em
.
Passo 4
Elemento identidade: Precisamos encontrar um elemento
em
tal que para todo
em
,
.
Usamos a definição da operação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
,
, então
.
Portanto, o elemento identidade é 0.
Passo 5
Inversos: Para cada elemento
em
, precisamos encontrar um elemento
em
tal que
.
Usando a operação:
Como
, o denominador
não é zero, e
está em
(pois
). Assim, todo elemento tem inverso.
Passo 6
Associatividade: Precisamos mostrar que para todos
em
,
.
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que ambos os resultados são iguais:
Portanto, a operação é associativa.
Passo 7
Como todas as quatro propriedades de grupo foram verificadas (fechamento, identidade, inversos e associatividade), concluímos que
é um grupo.
Passo 8
Agora, vamos mostrar que o grupo
é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero,
.
Para isso, buscamos uma função bijetora
que preserve a operação, ou seja,
.
Consideremos a função:
Vamos verificar se é um homomorfismo:
A função
é bijetora, pois para todo
, existe um único
tal que
. Além disso,
implica
.
Portanto,
é um isomorfismo entre
e
.
Resposta
O conjunto
com a operação
forma um grupo, e esse grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.