Seja G=R backslash-1 e a considere a operação binária em G definida por
a * b=a+b+a b
Prove que (G, *) é um grupo para esta operação. Mostre que o grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto G = R setminus -1 , ou seja, todos os números reais exceto -1. A operação binária definida em G é a * b = a + b + ab . Nosso objetivo é provar que (G, *) forma um grupo e, além disso, mostrar que esse grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para (G, *) .

Passo 3

Fechamento: Precisamos mostrar que se a e b estão em G , então a * b também está em G .
Calculando a * b = a + b + ab . Precisamos garantir que a * b neq -1 .
Suponha que a * b = -1 :
a + b + ab = -1 ab + a + b + 1 = 0 (ab + a) + (b + 1) = 0 a(b + 1) + (b + 1) = 0 (b + 1)(a + 1) = 0
Como a e b estão em G , a neq -1 e b neq -1 , então b + 1 neq 0 e a + 1 neq 0 . Portanto, a * b neq -1 , garantindo que a * b está em G .

Passo 4

Elemento identidade: Precisamos encontrar um elemento e em G tal que para todo a em G , a * e = e * a = a .
Usamos a definição da operação:
a * e = a + e + a e = a
Subtraindo a de ambos os lados:
e + a e = 0 e(1 + a) = 0
Como a neq -1 , 1 + a neq 0 , então e = 0 .
Portanto, o elemento identidade é 0.

Passo 5

Inversos: Para cada elemento a em G , precisamos encontrar um elemento b em G tal que a * b = b * a = e = 0 .
Usando a operação:
a * b = a + b + ab = 0 a + b + ab = 0 b(a + 1) = -a b = -aa + 1
Como a neq -1 , o denominador a + 1 não é zero, e b está em G (pois b neq -1 ). Assim, todo elemento tem inverso.

Passo 6

Associatividade: Precisamos mostrar que para todos a, b, c em G , (a * b) * c = a * (b * c) .
Calculando (a * b) * c :
(a * b) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
Calculando a * (b * c) :
a * (b * c) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Observamos que ambos os resultados são iguais:
a + b + ab + c + ac + bc + abc = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Portanto, a operação é associativa.

Passo 7

Como todas as quatro propriedades de grupo foram verificadas (fechamento, identidade, inversos e associatividade), concluímos que (G, *) é um grupo.

Passo 8

Agora, vamos mostrar que o grupo (G, *) é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero, (R setminus 0, cdot) .
Para isso, buscamos uma função bijetora phi: G to R setminus 0 que preserve a operação, ou seja, phi(a * b) = phi(a) cdot phi(b) .
Consideremos a função:
phi(a) = a + 1
Vamos verificar se é um homomorfismo:
phi(a * b) = phi(a + b + ab) = a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1) = phi(a) cdot phi(b)
A função phi é bijetora, pois para todo y in R setminus 0 , existe um único a = y - 1 in G tal que phi(a) = y . Além disso, y neq 0 implica a = y - 1 neq -1 .
Portanto, phi é um isomorfismo entre (G, *) e (R setminus 0, cdot) .

Resposta

O conjunto G = R setminus -1 com a operação a * b = a + b + ab forma um grupo, e esse grupo é isomórfico ao grupo multiplicativo dos números reais diferentes de zero.

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