Um automóvel é acelerado a partir do repouso a 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} por 0,40 \mathrm{~min}. A velocidade é, então, mantida constante por 0,50 \mathrm{~min}, após os quais o veículo sofre uma aceleração de -3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até parar. Qual a distância total percorrida?

Passo 1

O enunciado pede a distância total percorrida por um automóvel que passa por três trechos sucessivos. Informações fornecidas:
  • Aceleração inicial: \,a_1 = 2,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\,.
  • Duração da aceleração inicial: \,0,40\\ \mathrm{min}\,.
  • Em seguida a velocidade é mantida constante por \,0,50\\ \mathrm{min}\,.
  • Por fim o veículo sofre uma desaceleração até parar: \,a_3 = -3,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\,.
  • O veículo parte do repouso (velocidade inicial v_0=0).
O que é pedido: calcular a distância total percorrida, somando as distâncias dos três trechos.

Passo 2

Primeiro converto tempos de minutos para segundos (porque as unidades de aceleração estão em \mathrm{m\,s^{-2}}):
0,40\\ \mathrm{min} = 0,40\times 60 = 24\\ \mathrm{s}, \qquad 0,50\\ \mathrm{min} = 0,50\times 60 = 30\\ \mathrm{s}.
Denoto t_1=24\\ \mathrm{s} (aceleração), t_2=30\\ \mathrm{s} (velocidade constante) e a_1=2,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, a_3=-3,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 3

Trecho 1 (aceleração a partir do repouso durante t_1):
  • Fórmula de velocidade para MRUV: \;v = v_0 + a t\;, onde v é a velocidade final, v_0 a velocidade inicial, a a aceleração e t o tempo.
  • Fórmula da distância percorrida com aceleração constante: \;s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\;.
Aqui v_0=0, logo a velocidade ao final do trecho 1 é
v_1 = 0 + a_1 t_1 = 2,0\cdot 24 = 48\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
A distância percorrida no trecho 1 é
s_1 = 0\cdot 24 + \tfrac{1}{2}\cdot 2,0\cdot 24^2 = 1\cdot 576 = 576\\ \mathrm{m},
pois 24^2=576.

Passo 4

Trecho 2 (movimento com velocidade constante v_1 por t_2):
  • Fórmula da distância em movimento retilíneo uniforme: \;s = v\\ t\;, onde v é a velocidade constante e t o tempo.
Assim
s_2 = v_1 t_2 = 48\cdot 30 = 1440\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Trecho 3 (desaceleração até parar, com a_3=-3,0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, velocidade inicial v_1 e velocidade final v=0):
Duas formas comuns para achar a distância de frenagem:
  • usando tempo: t_3 = \dfrac{v_1 - 0}{|a_3|} e depois s_3 = v_1 t_3 + \tfrac{1}{2}a_3 t_3^2;
  • ou direto pela equação v^2 = v_1^2 + 2 a_3 s_3, resolvendo para s_3 quando v=0: \;s_3 = -\dfrac{v_1^2}{2 a_3}\;. Como a_3 é negativo, isto dá s_3 = \dfrac{v_1^2}{2|a_3|}.
Calculo t_3 e s_3 para ficar explícito:
t_3 = \frac{v_1}{3,0} = \frac{48}{3} = 16\\ \mathrm{s}.
Usando a fórmula da distância:
s_3 = v_1 t_3 + \tfrac{1}{2}a_3 t_3^2 = 48\cdot 16 + \tfrac{1}{2}(-3,0)\cdot 16^2.
Calculando: 48\cdot 16 = 768 e 16^2=256, então \tfrac{1}{2}\cdot(-3,0)\cdot 256 = -384. Logo
s_3 = 768 - 384 = 384\\ \mathrm{m}.
(Verificação pela fórmula direta: s_3 = \dfrac{48^2}{2\cdot 3,0} = \dfrac{2304}{6} = 384\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Somando as três distâncias para obter a distância total:
s_{\text{total}} = s_1 + s_2 + s_3 = 576 + 1440 + 384 = 2400\\ \mathrm{m}.
Confiro unidades e ordem de grandeza: os valores individuais fazem sentido para velocidades grandes ( 48\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\approx 172{,}8\\ \mathrm{km/h}), então a distância total de 2400\\ \mathrm{m}=2,4\\ \mathrm{km} é consistente com o trajeto descrito.
Força: você já conseguiu — é só aplicar as fórmulas básicas com cuidado com unidades!

Resposta

2400\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados