Um móvel percorre uma reta com aceleração constante. Sabe-se que no instante to =0 a sua velocidade é de 43,2 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e no instante t=4,0 s ele para. Determine: a) aceleração deste móvel. b) A função da velocidade em relação ao tempo; c) A velocidade no instante t=3,0 \mathrm{~s}; d) O instante em que a velocidade é v=16,2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; e) A velocidade do móvel no instante t=6,0 \mathrm{~s} supondo que o movimento não se altere até esse instante.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • No instante t_0=0 a velocidade inicial é v_0=43{,}2\\ \mathrm{km/h}.
    • No instante t=4{,}0\\ \mathrm{s} o móvel para, ou seja v(4{,}0)=0.
  • Pedidos:
    a) Determinar a aceleração do móvel.
    b) Determinar a função da velocidade em relação ao tempo v(t).
    c) Determinar a velocidade no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}.
    d) Determinar o instante em que a velocidade vale v=16{,}2\\ \mathrm{km/h}.
    e) Supondo que a aceleração se mantém, determinar a velocidade no instante t=6{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro vamos colocar todas as velocidades em unidades do Sistema Internacional (m/s), porque as fórmulas de cinemática costumam usar metros e segundos. A regra de conversão é:
1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
Convertemos as velocidades que aparecem no enunciado:
v_0 = 43{,}2\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{43{,}2}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 12\\ \mathrm{m/s}.
v_{\text{procurada}} = 16{,}2\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{16{,}2}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 4{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Também anotamos que v(4{,}0)=0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para movimento com aceleração constante existe uma relação linear entre velocidade e tempo:
v(t) = v_0 + a\,t,
onde:
  • v(t) é a velocidade no tempo t,
  • v_0 é a velocidade inicial (em t=0),
  • a é a aceleração constante (unidade \mathrm{m/s^2}),
  • t é o tempo em segundos.
Dessa relação, isolando a entre dois instantes:
a = \dfrac{v(t)-v_0}{t-0} = \dfrac{v(t)-v_0}{t}.
Usaremos essa fórmula com v(4{,}0)=0, v_0=12\\ \mathrm{m/s} e t=4{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da aceleração:
a = \dfrac{0 - 12}{4{,}0} = \dfrac{-12}{4{,}0} = -3\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade diminui com o tempo (o móvel está desacelerando).

Passo 5

Com v_0=12\\ \mathrm{m/s} e a=-3\\ \mathrm{m/s^2} a função velocidade-por-tempo é
v(t)=v_0 + a\,t = 12 - 3\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Se quiser a mesma função em \mathrm{km/h}, multiplica-se por 3{,}6:
v(t)= (12-3t)\cdot 3{,}6 = 43{,}2 - 10{,}8\,t\quad(\mathrm{km/h}).

Passo 6

Velocidade no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
v(3{,}0)=12 - 3\cdot 3{,}0 = 12 - 9 = 3\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h}:
3\\ \mathrm{m/s} \times 3{,}6 = 10{,}8\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Instante em que a velocidade é v=16{,}2\\ \mathrm{km/h}. Usamos a conversão que já fizemos: isso corresponde a 4{,}5\\ \mathrm{m/s}. Resolve-se
4{,}5 = 12 - 3\,t \quad\Rightarrow\quad 3\,t = 12 - 4{,}5 = 7{,}5,
t = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5\\ \mathrm{s}.
Esse instante está entre 0 e 4{,}0\\ \mathrm{s}, portanto faz sentido fisicamente.

Passo 8

Velocidade no instante t=6{,}0\\ \mathrm{s} supondo que a aceleração permanece constante:
v(6{,}0)=12 - 3\cdot 6{,}0 = 12 - 18 = -6\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h}:
-6\\ \mathrm{m/s} \times 3{,}6 = -21{,}6\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação física: o sinal negativo indica que, se o movimento continuasse com a mesma aceleração, o móvel teria invertido o sentido do movimento e estaria com velocidade de 6\\ \mathrm{m/s} no sentido oposto (módulo 21{,}6\\ \mathrm{km/h}).

Resposta

(a) -3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}
(b) v(t)=12-3t\\ \mathrm{(m/s)} \Longleftrightarrow v(t)=43{,}2-10{,}8t\\ \mathrm{(km/h)}
(c) v(3{,}0)=3{,}0\\ \mathrm{m/s}=10{,}8\\ \mathrm{km/h}
(d) t=2{,}5\\ \mathrm{s}
(e) v(6{,}0)=-6{,}0\\ \mathrm{m/s} = -21{,}6\\ \mathrm{km/h}

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