Um corpo se movimenta conforme o vetor \vec{r}(t)=\left[\left(-4,00 t^{2}+30,0\right) \hat{\imath}+\left(2,00 t^{3}\right) \hat{\jmath}\right] \mathrm{m} de acordo com um sistema cartesiano. Com base nesses dados, determine:
a) A classificação do movimento nas direções envolvidas;
b) O vetor velocidade em função de t;
c) O vetor aceleração em função de t;
d) O vetor posição para t=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
e) O vetor velocidade para \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
f) O vetor aceleração para \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
g) O vetor velocidade média intervalo de 0 a 3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
h) O vetor aceleração média intervalo de 0 a 3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição como função do tempo (peguei os coeficientes do enunciado):
O enunciado pede os itens (a) a (h):
a) classificar o tipo de movimento nas direções x e y;
b) o vetor velocidade \vec{v}(t);
c) o vetor aceleração \vec{a}(t);
d) \vec{r}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
e) \vec{v}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
f) \vec{a}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
g) vetor velocidade média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s}, seu módulo e direção;
h) vetor aceleração média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s}, seu módulo e direção.
Passo 2
Como vamos derivar componentes, uma breve revisão das regras que usarei (aula rápida): para funções de uma variável, a derivada componente a componente dá a velocidade e a segunda derivada dá a aceleração. A regra do “potência” para derivar é: se f(t)=a\,t^{n} então f'(t)=a\,n\,t^{n-1}. Derivada de constante é zero. Para vetores, aplica-se a derivada em cada componente. Também usarei a fórmula do módulo de um vetor \vec{u}=(u_x,u_y): \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}. Para a direção, usarei o ângulo \theta medido a partir do eixo +x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{u_y}{u_x}\right), cuidando do quadrante pelo sinal de u_x,u_y.
Passo 3
Derivando \vec{r}(t) componente a componente para obter a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
A componente x é x(t)=-4,00\,t^{2}+30,0. Aplicando a regra da potência:
Classificação do movimento (resposta do item a), explicando com o que encontramos:
Na direção x: x(t)=-4,00\,t^{2}+30,0. A velocidade v_x(t)=-8,00\,t e a aceleração a_x(t)=-8,00 são constantes (a aceleração é constante e igual a -8,00\\ \text{m/s}^{2}). Isso caracteriza um movimento uniformemente acelerado (MUA) na direção x — mais precisamente, uma aceleração constante negativa (movimento com aceleração constante para o lado negativo do eixo x).
Na direção y: y(t)=2,00\,t^{3}. A velocidade v_y(t)=6,00\,t^{2} e a aceleração a_y(t)=12,00\,t dependem de t (não são constantes). Isso caracteriza um movimento com aceleração variável na direção y (aceleração crescente linearmente com t). Portanto movimento não-uniformemente acelerado em y.
Direção: calcular \theta_v=\arctan\!\left(\dfrac{54}{-24}\right). Valor absoluto \arctan(2{,}25)\approx 66,80^\circ. Como v_x<0 e v_y>0 (quadrante II),
Direção: \theta_{v_{\text{méd}}}=\arctan\!\left(\dfrac{18}{-12}\right)é. Valor absoluto \arctan(1{,}5)\approx 56,31^\circ. Como a componente x é negativa e y positiva (quadrante II),
Direção: \theta_{a_{\text{méd}}}=\arctan\!\left(\dfrac{18}{-8{,}00}\right)é. Valor absoluto \arctan(2{,}25)\approx 66,80^\circ. Como a_{x,\text{méd}}<0é e a_{y,\text{méd}}>0é (quadrante II),