Um corpo se movimenta conforme o vetor
\vec{r}(t)=\left[\left(-4,00 t^{2}+30,0\right) \hat{\imath}+\left(2,00 t^{3}\right) \hat{\jmath}\right] \mathrm{m} de acordo com um sistema cartesiano. Com base nesses dados, determine:
a) A classificação do movimento nas direções envolvidas;
b) O vetor velocidade em função de t;
c) O vetor aceleração em função de t;
d) O vetor posição para t=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
e) O vetor velocidade para \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
f) O vetor aceleração para \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
g) O vetor velocidade média intervalo de 0 a 3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção.
h) O vetor aceleração média intervalo de 0 a 3,00 \mathrm{~s}, seu módulo e direção

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição como função do tempo (peguei os coeficientes do enunciado):
\vec{r}(t)=\bigl(\,-4,00\,t^{2}+30,0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(2,00\,t^{3}\bigr)\,\hat{\jmath}\quad\text{(em \(\text{m}\))}
O enunciado pede os itens (a) a (h):
a) classificar o tipo de movimento nas direções x e y;
b) o vetor velocidade \vec{v}(t);
c) o vetor aceleração \vec{a}(t);
d) \vec{r}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
e) \vec{v}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
f) \vec{a}(3{,}00\\ \text{s}), seu módulo e direção;
g) vetor velocidade média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s}, seu módulo e direção;
h) vetor aceleração média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s}, seu módulo e direção.

Passo 2

Como vamos derivar componentes, uma breve revisão das regras que usarei (aula rápida): para funções de uma variável, a derivada componente a componente dá a velocidade e a segunda derivada dá a aceleração. A regra do “potência” para derivar é: se f(t)=a\,t^{n} então f'(t)=a\,n\,t^{n-1}. Derivada de constante é zero. Para vetores, aplica-se a derivada em cada componente. Também usarei a fórmula do módulo de um vetor \vec{u}=(u_x,u_y): \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}. Para a direção, usarei o ângulo \theta medido a partir do eixo +x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{u_y}{u_x}\right), cuidando do quadrante pelo sinal de u_x,u_y.

Passo 3

Derivando \vec{r}(t) componente a componente para obter a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
A componente x é x(t)=-4,00\,t^{2}+30,0. Aplicando a regra da potência:
\frac{d}{dt}\bigl(-4,00\,t^{2}\bigr)=-4,00\cdot 2\,t=-8,00\,t, \qquad \frac{d}{dt}(30,0)=0.
A componente y é y(t)=2,00\,t^{3}. Derivando:
\frac{d}{dt}\bigl(2,00\,t^{3}\bigr)=2,00\cdot 3\,t^{2}=6,00\,t^{2}.
Portanto
\vec{v}(t)=\bigl(-8,00\,t\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(6,00\,t^{2}\bigr)\,\hat{\jmath}\quad\text{(em \(\text{m/s}\)).}

Passo 4

Derivando \vec{v}(t) para obter a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
Componente x: \dfrac{d}{dt}\bigl(-8,00\,t\bigr)=-8,00 (constante).
Componente y: \dfrac{d}{dt}\bigl(6,00\,t^{2}\bigr)=6,00\cdot 2\,t=12,00\,t.
Logo
\vec{a}(t)=-8,00\,\hat{\imath}+\bigl(12,00\,t\bigr)\,\hat{\jmath}\quad\text{(em \(\text{m/s}^{2}\)).}

Passo 5

Classificação do movimento (resposta do item a), explicando com o que encontramos:
  • Na direção x: x(t)=-4,00\,t^{2}+30,0. A velocidade v_x(t)=-8,00\,t e a aceleração a_x(t)=-8,00 são constantes (a aceleração é constante e igual a -8,00\\ \text{m/s}^{2}). Isso caracteriza um movimento uniformemente acelerado (MUA) na direção x — mais precisamente, uma aceleração constante negativa (movimento com aceleração constante para o lado negativo do eixo x).
  • Na direção y: y(t)=2,00\,t^{3}. A velocidade v_y(t)=6,00\,t^{2} e a aceleração a_y(t)=12,00\,t dependem de t (não são constantes). Isso caracteriza um movimento com aceleração variável na direção y (aceleração crescente linearmente com t). Portanto movimento não-uniformemente acelerado em y.
(Isto responde o item a): x: MUA (aceleração constante -8,00\\ \text{m/s}^{2}). y: aceleração variável, não-MUA.)

Passo 6

Agora os cálculos numéricos para t=3{,}00\\ \text{s}.
Primeiro a posição:
x(3{,}00)=-4,00\cdot(3{,}00)^{2}+30,0=-4,00\cdot 9+30,0=-36+30=-6\\ \text{m},
y(3{,}00)=2,00\cdot(3{,}00)^{3}=2,00\cdot 27=54\\ \text{m}.
Logo
\vec{r}(3{,}00)=(-6)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}\\ \text{m}.
Módulo de \vec{r}(3{,}00):
\|\vec{r}(3{,}00)\|=\sqrt{(-6)^{2}+54^{2}}=\sqrt{36+2916}=\sqrt{2952}\approx 54,33\\ \text{m}.
Direção: o ângulo \theta_r medido a partir do eixo +x é
\theta_r=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{54}{-6}\right).
Como x<0 e y>0, o vetor está no quadrante II. Calculo a arctan do valor absoluto:
\arctan\!\left(\left|\frac{54}{-6}\right|\right)=\arctan(9)\approx 83,66^\circ.
No quadrante II isso corresponde a
\theta_r=180^\circ-83,66^\circ=96,34^\circ\\ \text{(aprox.)}.
Também pode-se dar o versor direção:
\hat{u}_r=\frac{\vec{r}(3{,}00)}{\|\vec{r}(3{,}00)\|}\approx(-0,1105)\,\hat{\imath}+(0,994)\,\hat{\jmath}.

Passo 7

Velocidade em t=3{,}00\\ \text{s}:
Usando \vec{v}(t)=(-8,00\,t)\,\hat{\imath}+(6,00\,t^{2})\,\hat{\jmath},
\vec{v}(3{,}00)=(-8,00\cdot 3{,}00)\,\hat{\imath}+(6,00\cdot 3{,}00^{2})\,\hat{\jmath}=(-24)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}.
Módulo:
\|\vec{v}(3{,}00)\|=\sqrt{(-24)^{2}+54^{2}}=\sqrt{576+2916}=\sqrt{3492}\approx 59,10\\ \text{m/s}.
Direção: calcular \theta_v=\arctan\!\left(\dfrac{54}{-24}\right). Valor absoluto \arctan(2{,}25)\approx 66,80^\circ. Como v_x<0 e v_y>0 (quadrante II),
\theta_v=180^\circ-66,80^\circ=113,20^\circ\\ \text{(aprox.)}.
Versor:
\hat{u}_v\approx(-0,406)\,\hat{\imath}+(0,914)\,\hat{\jmath}.

Passo 8

Aceleração em t=3{,}00\\ \text{s}:
Usando \vec{a}(t)=-8,00\,\hat{\imath}+(12,00\,t)\,\hat{\jmath},
\vec{a}(3{,}00)=-8,00\,\hat{\imath}+(12,00\cdot 3{,}00)\,\hat{\jmath}=-8,00\,\hat{\imath}+36,0\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}.
Módulo:
\|\vec{a}(3{,}00)\|=\sqrt{(-8,00)^{2}+36,0^{2}}=\sqrt{64+1296}=\sqrt{1360}\approx 36,88\\ \text{m/s}^{2}.
Direção: \theta_a=\arctan\!\left(\dfrac{36,0}{-8,00}\right). Valor absoluto \arctan(4{,}5)\approx 77,47^\circ. Como a_x<0,a_y>0 (quadrante II),
\theta_a=180^\circ-77,47^\circ=102,53^\circ\\ \text{(aprox.)}.
Versor:
\hat{u}_a\approx(-0,217)\,\hat{\imath}+(0,976)\,\hat{\jmath}.

Passo 9

Velocidade média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s} (item g):
Definição: \displaystyle \vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\vec{r}(t_{2})-\vec{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}é. Aqui t_{1}=0, t_{2}=3{,}00.
Calculo \vec{r}(0): plugando t=0 em \vec{r}(t),
\vec{r}(0)=(30,0)\,\hat{\imath}+(0)\,\hat{\jmath}=30\,\hat{\imath}\\ \text{m}.
Já temos \vec{r}(3{,}00)=(-6)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}\\ \text{m}. Então
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{(-6-30)\,\hat{\imath}+(54-0)\,\hat{\jmath}}{3{,}00}=\frac{(-36)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}}{3{,}00}=(-12)\,\hat{\imath}+18\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}.é
Módulo:
\|\vec{v}_{\text{méd}}\|=\sqrt{(-12)^{2}+18^{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}\approx 21,63\\ \text{m/s}.é
Direção: \theta_{v_{\text{méd}}}=\arctan\!\left(\dfrac{18}{-12}\right)é. Valor absoluto \arctan(1{,}5)\approx 56,31^\circ. Como a componente x é negativa e y positiva (quadrante II),
\theta_{v_{\text{méd}}}=180^\circ-56,31^\circ=123,69^\circ\\ \text{(aprox.)}.é

Passo 10

Aceleração média no intervalo 0 a 3{,}00\\ \text{s} (item h):
Definição: \displaystyle \vec{a}_{\text{méd}}=\frac{\vec{v}(t_{2})-\vec{v}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}é. Aqui \vec{v}(0)=\bigl(-8,00\cdot 0\bigr)\hat{\imath}+(6,00\cdot 0^{2})\hat{\jmath}=0.
Já temos \vec{v}(3{,}00)=(-24)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}. Assim
\vec{a}_{\text{méd}}=\frac{(-24-0)\,\hat{\imath}+(54-0)\,\hat{\jmath}}{3{,}00}=(-8,00)\,\hat{\imath}+18,0\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}.é
Módulo:
\|\vec{a}_{\text{méd}}\|=\sqrt{(-8{,}00)^{2}+18{,}0^{2}}=\sqrt{64+324}=\sqrt{388}\approx 19,70\\ \text{m/s}^{2}.é
Direção: \theta_{a_{\text{méd}}}=\arctan\!\left(\dfrac{18}{-8{,}00}\right)é. Valor absoluto \arctan(2{,}25)\approx 66,80^\circ. Como a_{x,\text{méd}}<0é e a_{y,\text{méd}}>0é (quadrante II),
\theta_{a_{\text{méd}}}=180^\circ-66,80^\circ=113,20^\circ\\ \text{(aprox.)}.é

Resposta

a) Na direção x: movimento uniformemente acelerado (aceleração constante -8,00\\ \text{m/s}^{2}). Na direção y: aceleração variável (não-MUA), a_y(t)=12,00\,t.
b) \vec{v}(t)=\bigl(-8,00\,t\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(6,00\,t^{2}\bigr)\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}.
c) \vec{a}(t)=-8,00\,\hat{\imath}+\bigl(12,00\,t\bigr)\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}.
d) \vec{r}(3{,}00)=(-6)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}\\ \text{m};\\ \|\vec{r}(3{,}00)\|\approx 54,33\\ \text{m};\\ \theta_r\approx 96,34^\circ.
e) \vec{v}(3{,}00)=(-24)\,\hat{\imath}+54\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s};\\ \|\vec{v}(3{,}00)\|\approx 59,10\\ \text{m/s};\\ \theta_v\approx 113,20^\circ.
f) \vec{a}(3{,}00)=-8,00\,\hat{\imath}+36,0\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2};\\ \|\vec{a}(3{,}00)\|\approx 36,88\\ \text{m/s}^{2};\\ \theta_a\approx 102,53^\circ.
g) \vec{v}_{\text{méd}}=(-12)\,\hat{\imath}+18\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s};\\ \|\vec{v}_{\text{méd}}\|\approx 21,63\\ \text{m/s};\\ \theta_{v_{\text{méd}}}\approx 123,69^\circééé.
h) \vec{a}_{\text{méd}}=(-8,00)\,\hat{\imath}+18,0\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2};\\ \|\vec{a}_{\text{méd}}\|\approx 19,70\\ \text{m/s}^{2};\\ \theta_{a_{\text{méd}}}\approx 113,20^\circééé.

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