1. Um bloco de massa 8,5 \mathrm{~kg} é colocado sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo de inclinação \theta=30^{\circ}, onde há uma corda que o segura para não deslizar. Determine (a) a tensão na corda e (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Massa do bloco: m=8,5\\ \mathrm{kg}.
  • Plano inclinado sem atrito com ângulo de inclinação \theta=30^\circ.
  • Há uma corda segurando o bloco para que ele não deslize (portanto inicialmente está em equilíbrio).
    As perguntas são:
    (a) determinar a tensão na corda;
    (b) determinar a força normal que age sobre o bloco;
    (c) determinar o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada.

Passo 2

Entendendo as forças que atuam no bloco (escolha de eixos e diagrama livre, explicação didática).
  • As forças atuantes são:
    1. O peso \, \vec{P} \,=m\vec{g} apontando verticalmente para baixo. Aqui m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade.
    2. A tensão na corda \, \vec{T}, atuando ao longo da corda (no sentido que impede o bloco de deslizar).
    3. A força normal \, \vec{N}, exercida pelo plano sobre o bloco, perpendicular à superfície do plano.
  • Para analisar, escolhe-se um sistema de eixos conveniente:
    • eixo x paralelo ao plano inclinado (positivo para baixo ao longo do plano, direção em que o bloco tenderia a deslizar).
    • eixo y perpendicular ao plano, para fora do plano.
  • Explicação sobre decomposição do peso:
    • O peso mg pode ser decomposto em duas componentes em relação a esses eixos:
      • componente paralela ao plano: mg\sin\theta (puxa o bloco para baixo ao longo do plano);
      • componente perpendicular ao plano: mg\cos\theta (é a que pressiona o bloco contra o plano).
    • Como regra prática: quando se projeta o peso em eixos alinhados com um plano inclinado, os fatores trigonométricos que aparecem são seno para a componente paralela e cosseno para a componente perpendicular — mostrarei por que isso vale nos cálculos a seguir.

Passo 3

Cálculo da tensão T quando o bloco está preso (equilíbrio estático).
  • Como o bloco não desliza enquanto a corda o segura, a aceleração é nula. Logo, a soma das forças ao longo do eixo paralelo ao plano é zero.
  • Equilíbrio no eixo x (paralelo ao plano):
\sum F_x = 0.
  • As forças no eixo x são: componente do peso para baixo mg\sin\theta e a tensão T puxando para cima ao longo do plano (oposta). Escolhendo positivo para baixo:
mg\sin\theta - T = 0.
  • Isolando T:
T = mg\sin\theta.
  • Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule mg:
mg = 8,5\cdot 9,8 = 83,3\\ \mathrm{N}.
  • Sabendo que \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, temos:
T = 83,3\cdot \tfrac{1}{2} = 41,65\\ \mathrm{N}.
  • Então a tensão na corda é T=41,65\\ \mathrm{N} (pode arredondar para 41,7\\ \mathrm{N} se preferir).

Passo 4

Cálculo da força normal N (equilíbrio na direção perpendicular).
  • No eixo y (perpendicular ao plano) também não há movimento, então a soma das forças nessa direção é zero:
\sum F_y = 0.
  • As forças no eixo y são a normal N para fora do plano e a componente perpendicular do peso mg\cos\theta apontando para dentro do plano. Tomando positivo para fora:
N - mg\cos\theta = 0.
  • Assim:
N = mg\cos\theta.
  • Substituindo numericamente. Sabemos mg=83,3\\ \mathrm{N} e \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254. Então
N = 83,3\cdot 0,8660254 \approx 72,16\\ \mathrm{N}.
  • Portanto a força normal vale aproximadamente N=72,16\\ \mathrm{N} (pode arredondar para 72,2\\ \mathrm{N}).

Passo 5

Cálculo da aceleração quando a corda é cortada (movimento livre sobre o plano sem atrito).
  • Agora, sem corda, a única força tangencial ao plano que causa aceleração é a componente do peso mg\sin\theta (não há atrito).
  • Aplique a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo ao plano:
\sum F_x = ma_x.
  • Com positivo para baixo ao longo do plano: \sum F_x = mg\sin\theta. Logo
mg\sin\theta = ma.
  • Cancelando m (não depende da massa):
a = g\sin\theta.
  • Substituindo g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}:
a = 9,8\cdot \tfrac{1}{2} = 4,9\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O sentido da aceleração é para baixo ao longo do plano (o bloco desce).

Resposta

(a) T = 41,65\\ \mathrm{N}
(b) N = 72,16\\ \mathrm{N}
(c) a = 4,9\\ \mathrm{m/s^2}

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