- Um bloco de massa
é colocado sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo de inclinação
, onde há uma corda que o segura para não deslizar. Determine (a) a tensão na corda e (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Plano inclinado sem atrito com ângulo de inclinação
. - Há uma corda segurando o bloco para que ele não deslize (portanto inicialmente está em equilíbrio).
As perguntas são:
(a) determinar a tensão na corda;
(b) determinar a força normal que age sobre o bloco;
(c) determinar o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada.
Passo 2
Entendendo as forças que atuam no bloco (escolha de eixos e diagrama livre, explicação didática).
- As forças atuantes são:
- O peso
apontando verticalmente para baixo. Aqui é a massa do corpo e é a aceleração da gravidade. - A tensão na corda
, atuando ao longo da corda (no sentido que impede o bloco de deslizar). - A força normal
, exercida pelo plano sobre o bloco, perpendicular à superfície do plano.
- O peso
- Para analisar, escolhe-se um sistema de eixos conveniente:
- eixo
paralelo ao plano inclinado (positivo para baixo ao longo do plano, direção em que o bloco tenderia a deslizar). - eixo
perpendicular ao plano, para fora do plano.
- eixo
- Explicação sobre decomposição do peso:
- O peso
pode ser decomposto em duas componentes em relação a esses eixos: - componente paralela ao plano:
(puxa o bloco para baixo ao longo do plano); - componente perpendicular ao plano:
(é a que pressiona o bloco contra o plano).
- componente paralela ao plano:
- Como regra prática: quando se projeta o peso em eixos alinhados com um plano inclinado, os fatores trigonométricos que aparecem são seno para a componente paralela e cosseno para a componente perpendicular — mostrarei por que isso vale nos cálculos a seguir.
- O peso
Passo 3
Cálculo da tensão
quando o bloco está preso (equilíbrio estático).
- Como o bloco não desliza enquanto a corda o segura, a aceleração é nula. Logo, a soma das forças ao longo do eixo paralelo ao plano é zero.
- Equilíbrio no eixo
(paralelo ao plano):
- As forças no eixo
são: componente do peso para baixo e a tensão puxando para cima ao longo do plano (oposta). Escolhendo positivo para baixo:
- Isolando
:
- Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule
:
- Sabendo que
, temos:
- Então a tensão na corda é
(pode arredondar para se preferir).
Passo 4
Cálculo da força normal
(equilíbrio na direção perpendicular).
- No eixo
(perpendicular ao plano) também não há movimento, então a soma das forças nessa direção é zero:
- As forças no eixo
são a normal para fora do plano e a componente perpendicular do peso apontando para dentro do plano. Tomando positivo para fora:
- Assim:
- Substituindo numericamente. Sabemos
e . Então
- Portanto a força normal vale aproximadamente
(pode arredondar para ).
Passo 5
Cálculo da aceleração quando a corda é cortada (movimento livre sobre o plano sem atrito).
- Agora, sem corda, a única força tangencial ao plano que causa aceleração é a componente do peso
(não há atrito). - Aplique a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo ao plano:
- Com positivo para baixo ao longo do plano:
. Logo
- Cancelando
(não depende da massa):
- Substituindo
e :
- O sentido da aceleração é para baixo ao longo do plano (o bloco desce).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)