Um automóvel e um caminhão partem do repouso no mesmo instante, estando o automóvel a uma certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui aceleração constante de 2,50 m / s^2 e o automóvel de 4,40 m / s^2. O automóvel ultrapassa o caminhão depois que o caminhão se deslocou 40,0 m. Com base nessas informações determine:
Em um único diagrama, desenha a posição de cada veículo em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um automóvel e um caminhão que começam do repouso ao mesmo tempo. O caminhão está à frente, e o automóvel está um pouco atrás. Ambos aceleram de forma constante: o caminhão a 2,50 , m/s^2 e o automóvel a 4,40 , m/s^2. O automóvel consegue ultrapassar o caminhão depois que o caminhão já percorreu 40,0 , m. Nosso objetivo é desenhar um diagrama que mostre a posição de cada veículo em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cinemática, mais especificamente o movimento com aceleração constante. Vamos usar as fórmulas que relacionam posição, tempo e aceleração para cada veículo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a posição ( s) em função do tempo ( t) para um objeto que parte do repouso e acelera constantemente:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • s0 é a posição inicial,
  • v0 é a velocidade inicial (que é 0, já que partem do repouso),
  • a é a aceleração.
Como ambos começam do repouso, a fórmula simplifica para:
s(t) = s0 + 12 a t^2

Passo 3

Vamos definir as posições iniciais de cada veículo. Vamos considerar que o caminhão está na posição s = 0 no tempo t = 0. O automóvel está um pouco atrás, então sua posição inicial será negativa, representando essa distância atrás. Vamos chamar essa distância de d.
Então, para o caminhão:
scaminhão(t) = 0 + 12 times 2,50 , m/s^2 times t^2 = 1,25 , t^2 ã
E para o automóvel:
sautomóvel(t) = -d + 12 times 4,40 , m/s^2 times t^2 = -d + 2,20 , t^2 ó

Passo 4

Sabemos que o automóvel ultrapassa o caminhão quando o caminhão já percorreu 40,0 , m. Vamos encontrar o tempo ( t) em que isso acontece.
Primeiro, vamos calcular o tempo que o caminhão leva para percorrer 40,0 , m:
scaminhão(t) = 1,25 , t^2 = 40,0 , m ã
Resolvendo para t:
t^2 = 40,01,25 = 32 t = raiz32 approx 5,66 , s

Passo 5

Nesse mesmo instante ( t approx 5,66 , s), o automóvel está na mesma posição que o caminhão. Então:
sautomóvel(t) = -d + 2,20 , t^2 = scaminhão(t) = 40,0 , m óã
Substituindo t = 5,66 , s:
-d + 2,20 times (5,66)^2 = 40,0 -d + 2,20 times 32 = 40,0 -d + 70,4 = 40,0 -d = 40,0 - 70,4 -d = -30,4 d = 30,4 , m
Então, o automóvel estava 30,4 , m atrás do caminhão no início.

Passo 6

Agora que temos todas as informações, vamos definir as equações de posição completas para cada veículo:
  • Caminhão:
scaminhão(t) = 1,25 , t^2 ã
  • Automóvel:
sautomóvel(t) = -30,4 + 2,20 , t^2 ó

Passo 7

Para desenhar o diagrama de posição em função do tempo:
  1. Eixos do Gráfico:
    • Eixo horizontal ( t): tempo em segundos.
    • Eixo vertical ( s): posição em metros.
  2. Trajetórias:
    • Caminhão: Uma parábola que começa na origem (0,0) e cresce mais lentamente, já que sua aceleração é menor.
    • Automóvel: Outra parábola que começa em (0, -30,4) (30,4 metros atrás) e cresce mais rapidamente devido à maior aceleração.
  3. Ponto de Ultrapassagem:
    • O ponto onde as duas parábolas se cruzam corresponde ao instante em que o automóvel ultrapassa o caminhão, que já percorreu 40,0 , m após aproximadamente 5,66 , s.

Resposta

Para representar a posição dos veículos em função do tempo, desenhe um gráfico com tempo no eixo horizontal e posição no eixo vertical. Trace duas parábolas: uma iniciando na origem com a equação scaminhão(t) = 1,25 , t^2ã e outra iniciando 30,4 , m atrás com a equação sautomóvel(t) = -30,4 + 2,20 , t^2ó. As curvas se cruzarão no ponto onde t approx 5,66 , s e s approx 40,0 , m, que é o momento da ultrapassagem.

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