Se a caixa do problema anterior é cubica de lado
. (a) Encontre as autofunções e os autovalores. (b) Qual é a energia do estado fundamental do sistema? © Qual é a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma caixa cúbica com lado
, e precisamos resolver três partes:
a) Encontrar as autofunções e os autovalores.
b) Determinar a energia do estado fundamental do sistema.
c) Descobrir a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da partícula na caixa, para resolver isso. Precisamos entender como as soluções das equações de Schrödinger se comportam em uma caixa tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são autofunções e autovalores. Em mecânica quântica, a equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa tridimensional é separável, ou seja, podemos resolver para cada dimensão separadamente.
A autofunção geral para uma caixa cúbica é o produto das autofunções em cada uma das três direções (x, y, z). Cada uma dessas funções é uma onda estacionária, dada por:
Aqui,
,
, e
são números quânticos inteiros positivos (1, 2, 3, …).
Passo 3
Agora, os autovalores correspondentes às energias dos estados quânticos são dados por:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o comprimento do lado da caixa, -
, , são os números quânticos nas direções x, y e z.
Passo 4
Para o estado fundamental, que é o estado de menor energia, temos que todos os números quânticos são iguais a 1:
Substituindo na expressão dos autovalores:
Passo 5
Para determinar a degenerescência dos estados excitados, precisamos contar quantas combinações distintas de
,
,
resultam na mesma energia.
Primeiro, o primeiro estado excitado ocorre quando apenas um dos números quânticos é 2 e os outros dois são 1. Por exemplo:
Cada uma dessas combinações dá a mesma energia:
Então, a degenerescência do primeiro estado excitado é 3.
Finalmente, o segundo estado excitado pode ocorrer de duas maneiras:
- Dois números quânticos iguais a 2 e um igual a 1:
- Um número quântico igual a 3 e os outros dois iguais a 1:
Cada uma dessas combinações também tem energias iguais, então a degenerescência total do segundo estado excitado é 6.
Resposta
a) As autofunções são
e os autovalores são
.
b) A energia do estado fundamental é
.
c) A degenerescência do primeiro estado excitado é 3 e do segundo estado excitado é 6.