Se a caixa do problema anterior é cubica de lado a. (a) Encontre as autofunções e os autovalores. (b) Qual é a energia do estado fundamental do sistema? © Qual é a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma caixa cúbica com lado a, e precisamos resolver três partes:
a) Encontrar as autofunções e os autovalores.
b) Determinar a energia do estado fundamental do sistema.
c) Descobrir a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da partícula na caixa, para resolver isso. Precisamos entender como as soluções das equações de Schrödinger se comportam em uma caixa tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autofunções e autovalores. Em mecânica quântica, a equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa tridimensional é separável, ou seja, podemos resolver para cada dimensão separadamente.
A autofunção geral para uma caixa cúbica é o produto das autofunções em cada uma das três direções (x, y, z). Cada uma dessas funções é uma onda estacionária, dada por:
psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8a^3 sin(nx pi xa) sin(ny pi ya) sin(nz pi za)
Aqui, nx, ny, e nz são números quânticos inteiros positivos (1, 2, 3, …).

Passo 3

Agora, os autovalores correspondentes às energias dos estados quânticos são dados por:
Enx,ny,nz = hbar^2 pi^22m a^2 (nx^2 + ny^2 + nz^2)
Onde:
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • a é o comprimento do lado da caixa,
  • nx, ny, nz são os números quânticos nas direções x, y e z.

Passo 4

Para o estado fundamental, que é o estado de menor energia, temos que todos os números quânticos são iguais a 1:
nx = ny = nz = 1
Substituindo na expressão dos autovalores:
E1,1,1 = hbar^2 pi^22m a^2 (1^2 + 1^2 + 1^2) = 3 hbar^2 pi^22m a^2

Passo 5

Para determinar a degenerescência dos estados excitados, precisamos contar quantas combinações distintas de nx, ny, nz resultam na mesma energia.
Primeiro, o primeiro estado excitado ocorre quando apenas um dos números quânticos é 2 e os outros dois são 1. Por exemplo:
(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2)
Cada uma dessas combinações dá a mesma energia:
E2,1,1 = E1,2,1 = E1,1,2 = 6 hbar^2 pi^22m a^2
Então, a degenerescência do primeiro estado excitado é 3.
Finalmente, o segundo estado excitado pode ocorrer de duas maneiras:
  1. Dois números quânticos iguais a 2 e um igual a 1:
(2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)
  1. Um número quântico igual a 3 e os outros dois iguais a 1:
(3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)
Cada uma dessas combinações também tem energias iguais, então a degenerescência total do segundo estado excitado é 6.

Resposta

a) As autofunções são psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8a^3 sin(nx pi xa) sin(ny pi ya) sin(nz pi za) e os autovalores são Enx,ny,nz = hbar^2 pi^22m a^2 (nx^2 + ny^2 + nz^2).
b) A energia do estado fundamental é E1,1,1 = 3 hbar^2 pi^22m a^2.
c) A degenerescência do primeiro estado excitado é 3 e do segundo estado excitado é 6.

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