Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por
. A distância de
ao ponto inicial é dada em função do tempo por
. Com base nestas informações determine:
Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui?
Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois carros, A e B, que estão se movendo numa linha reta. As posições deles em função do tempo são dadas pelas funções $ x_{A}(t) = 2,60,t + 1,4,t^{2} $ e $ x_{B}(t) = 2,90,t^{2} - 0,20,t^{3} $. Nosso objetivo é descobrir em que instante(s) a distância entre os dois carros não está nem aumentando nem diminuindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar como a distância entre os carros muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a distância entre os carros A e B em qualquer instante $ t $. A distância pode ser representada pela diferença das posições dos dois carros:
Substituindo as funções dadas:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma função mais fácil de trabalhar:
Passo 4
Agora, para encontrar quando a distância entre os carros não está mudando, precisamos ver quando a taxa de variação dessa distância em relação ao tempo é zero. Em termos de cálculo, isso significa encontrar a derivada de $ s(t) $ em relação a $ t $ e igualar a zero:
Vamos calcular a derivada:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação derivada igual a zero para encontrar os instantes $ t $:
Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar todos os termos por 100 para eliminar as vírgulas:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 20:
Passo 6
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ 3,t^{2} - 15,t + 13 = 0 $:
Calculando a raiz quadrada:
Então, temos duas soluções para $ t $:
Resposta
A distância entre os carros A e B não está nem aumentando nem diminuindo nos instantes de aproximadamente 1,12 segundos e 3,88 segundos após o início do movimento.