Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por xA(t)=2,60 t+1,4 t^2. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t)=2,90 t^2-0,20 t^3. Com base nestas informações determine:
Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois carros, A e B, que estão se movendo numa linha reta. As posições deles em função do tempo são dadas pelas funções $ x_{A}(t) = 2,60,t + 1,4,t^{2} $ e $ x_{B}(t) = 2,90,t^{2} - 0,20,t^{3} $. Nosso objetivo é descobrir em que instante(s) a distância entre os dois carros não está nem aumentando nem diminuindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar como a distância entre os carros muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a distância entre os carros A e B em qualquer instante $ t $. A distância pode ser representada pela diferença das posições dos dois carros:
t
Substituindo as funções dadas:
s(t) = xA(t) - xB(t)

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma função mais fácil de trabalhar:
s(t) = 2,60,t + 1,4,t^2 - 2,90,t^2 + 0,20,t^3
s(t) = 2,60,t - 1,50,t^2 + 0,20,t^3

Passo 4

Agora, para encontrar quando a distância entre os carros não está mudando, precisamos ver quando a taxa de variação dessa distância em relação ao tempo é zero. Em termos de cálculo, isso significa encontrar a derivada de $ s(t) $ em relação a $ t $ e igualar a zero:
s(t)
Vamos calcular a derivada:
t
dsdt = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação derivada igual a zero para encontrar os instantes $ t $:
t
Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar todos os termos por 100 para eliminar as vírgulas:
0,60,t^2 - 3,00,t + 2,60 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 20:
60,t^2 - 300,t + 260 = 0

Passo 6

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ 3,t^{2} - 15,t + 13 = 0 $:
3,t^2 - 15,t + 13 = 0
t = 15 pm raiz(-15)^2 - 4 cdot 3 cdot 132 cdot 3
t = 15 pm raiz225 - 1566
Calculando a raiz quadrada:
t = 15 pm raiz696
Então, temos duas soluções para $ t $:
raiz69 approx 8,31
t

Resposta

A distância entre os carros A e B não está nem aumentando nem diminuindo nos instantes de aproximadamente 1,12 segundos e 3,88 segundos após o início do movimento.

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