O operador Hamiltoniano de um sistema é
. Mostrar que
é uma autofunção de
e determine o autovalor. Também calcule o valor de
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com o operador Hamiltoniano $ H = -\frac{d{2}}{dx{2}} + x^{2} $. A tarefa é mostrar que a função $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ é uma autofunção (ou autofunção própria) desse operador e encontrar o autovalor correspondente. Além disso, precisamos calcular o valor da constante $ N $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre operadores e autofunções, além de conhecimentos de cálculo diferencial para aplicar o operador Hamiltoniano à função proposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma autofunção de um operador. Uma função $ \psi(x) $ é uma autofunção do operador $ H $ se, ao aplicarmos $ H $ em $ \psi(x) $, o resultado for a função original multiplicada por um número $ E $, que é o autovalor. Matematicamente, isso é representado por:
Então, nosso objetivo é aplicar $ H $ em $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ e ver se obtemos $ E \psi(x) $. Se sim, encontramos o autovalor $ E $ e podemos determinar $ N $.
Passo 3
Vamos aplicar o operador Hamiltoniano à função $ \psi(x) $. O operador é:
Então,
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ \psi(x) $:
Simplificando:
Agora, aplicando o operador Hamiltoniano:
As parcelas com $ x^{3} $ se cancelam:
Passo 4
Agora, queremos que $ H \psi(x) = E \psi(x) $. Temos:
Comparando os dois lados, vemos que:
Para que isso seja válido para todos os $ x $, os coeficientes devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por $ N $ (considerando $ N \neq 0 $):
Então, o autovalor $ E $ é 3.
Passo 5
Por último, vamos determinar o valor de $ N $. Normalmente, queremos que a função de onda $ \psi(x) $ seja normalizada, ou seja:
Então,
Simplificando:
Sabemos que:
Então,
Resposta
A função $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ é uma autofunção do operador Hamiltoniano $ H $ com autovalor $ E = 3 $. Além disso, a constante de normalização é $ N = \pi^{-1/4} \sqrt{2} $.