O operador Hamiltoniano de um sistema é H= -d^2 / d x^2+x^2. Mostrar que N x exp (-x^2 / 2) é uma autofunção de H e determine o autovalor. Também calcule o valor de N.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com o operador Hamiltoniano $ H = -\frac{d{2}}{dx{2}} + x^{2} $. A tarefa é mostrar que a função $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ é uma autofunção (ou autofunção própria) desse operador e encontrar o autovalor correspondente. Além disso, precisamos calcular o valor da constante $ N $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre operadores e autofunções, além de conhecimentos de cálculo diferencial para aplicar o operador Hamiltoniano à função proposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma autofunção de um operador. Uma função $ \psi(x) $ é uma autofunção do operador $ H $ se, ao aplicarmos $ H $ em $ \psi(x) $, o resultado for a função original multiplicada por um número $ E $, que é o autovalor. Matematicamente, isso é representado por:
psi(x)
Então, nosso objetivo é aplicar $ H $ em $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ e ver se obtemos $ E \psi(x) $. Se sim, encontramos o autovalor $ E $ e podemos determinar $ N $.

Passo 3

Vamos aplicar o operador Hamiltoniano à função $ \psi(x) $. O operador é:
psi(x)
Então,
H = -d^2dx^2 + x^2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ \psi(x) $:
H psi(x) = ( -d^2dx^2 + x^2 ) ( N x e^-x^2/2 )
psi(x)
Simplificando:
ddx ( x e^-x^2/2 ) = e^-x^2/2 + x ( -x e^-x^2/2 ) = e^-x^2/2 - x^2 e^-x^2/2
Agora, aplicando o operador Hamiltoniano:
d^2dx^2 ( x e^-x^2/2 ) = ddx ( e^-x^2/2 - x^2 e^-x^2/2 ) = -x e^-x^2/2 - 2x e^-x^2/2 + x^3 e^-x^2/2
As parcelas com $ x^{3} $ se cancelam:
d^2dx^2 ( x e^-x^2/2 ) = (-3x + x^3) e^-x^2/2

Passo 4

Agora, queremos que $ H \psi(x) = E \psi(x) $. Temos:
H psi(x) = E psi(x)
Comparando os dois lados, vemos que:
H psi(x) = 3N x e^-x^2/2 = E N x e^-x^2/2
Para que isso seja válido para todos os $ x $, os coeficientes devem ser iguais:
3N x e^-x^2/2 = E N x e^-x^2/2
Dividindo ambos os lados por $ N $ (considerando $ N \neq 0 $):
x
Então, o autovalor $ E $ é 3.

Passo 5

Por último, vamos determinar o valor de $ N $. Normalmente, queremos que a função de onda $ \psi(x) $ seja normalizada, ou seja:
N
Então,
psi(x)
Simplificando:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Sabemos que:
integral-infty^infty |N x e^-x^2/2|^2 dx = 1
Então,
N^2 integral-infty^infty x^2 e^-x^2 dx = 1

Resposta

A função $ \psi(x) = N x e{-x{2}/2} $ é uma autofunção do operador Hamiltoniano $ H $ com autovalor $ E = 3 $. Além disso, a constante de normalização é $ N = \pi^{-1/4} \sqrt{2} $.

Exercícios relacionados