Um automóvel é dirigido ao longo de uma estrada caracterizada por zonas alternadas de velocidades permitidas de 40 km/h e 60 km/h. Se o motorista mantém rigorosamente essas velocidades nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo comprimento, qual a velocidade média, em km/h, em um trecho correspondente a um número par de zonas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que percorre uma estrada com zonas onde a velocidade permitida alterna entre 40 km/h e 60 km/h. Cada zona tem o mesmo comprimento, e o motorista mantém essas velocidades direitinho em cada zona. A pergunta é: qual é a velocidade média desse carro em um trecho que inclui um número par de zonas?
Matéria envolvida: Média de velocidades, um conceito da física que nos ajuda a calcular a velocidade média quando há variações de velocidade em diferentes trechos do percurso.
O que vamos precisar: Entender como calcular a velocidade média considerando diferentes velocidades e tempos de viagem em cada zona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média é calculada dividindo a distância total percorrida pelo tempo total gasto. A fórmula é:
Velocidade Média (Vm) = Distância Total (D)Tempo Total (T) éâ

Passo 3

Como as zonas têm o mesmo comprimento, vamos supor que cada zona tenha um comprimento de $ L $ quilômetros. Se temos um número par de zonas, digamos $ 2n $ zonas, isso significa que metade delas (ou seja, $ n $) estão a 40 km/h e a outra metade a 60 km/h.

Passo 4

Vamos calcular a distância total percorrida. Como cada zona tem comprimento $ L $ e temos $ 2n $ zonas, a distância total $ D $ será:
L

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo gasto em cada tipo de zona.
  • Para as zonas a 40 km/h:
    O tempo gasto em uma zona é L40 horas.
    Como temos $ n $ zonas assim, o tempo total para elas é:
    n
  • Para as zonas a 60 km/h:
    O tempo gasto em uma zona é T40 = n times L40 = nL40 horas.
    Como temos $ n $ zonas assim, o tempo total para elas é:
    L60

Passo 6

O tempo total $ T $ gasto no percurso é a soma dos tempos nas zonas de 40 km/h e 60 km/h:
T
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que seria 120. Então:
T = T40 + T60 = nL40 + nL60

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da velocidade média:
Vm = DT = 2nLnL24 = 2nL times 24nL = 48 , km/h

Resposta

A velocidade média do automóvel em um trecho com um número par de zonas é de 48 km/h.

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