Dois cilindros feitos de materiais A e B têm os mesmos comprimentos, os respectivos diâmetros estão relacionados por dA = 2. dB. Quando se mantém a mesma diferença de temperatura entre suas extremidades, eles conduzem calor à mesma taxa. Qual a relação entre as condutividades térmicas dos materiais?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois cilindros feitos de materiais diferentes, A e B. Eles têm o mesmo comprimento, mas os diâmetros são diferentes: o diâmetro de A é o dobro do diâmetro de B ( $ d_A = 2 \cdot d_B $ ). Quando mantemos a mesma diferença de temperatura nas extremidades, os dois conduzem calor na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é descobrir como as condutividades térmicas desses materiais estão relacionadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e a fórmula da taxa de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula que relaciona a taxa de transferência de calor ($ \dot{Q} $) em um material:
dotQ
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do material,
  • $ A $ é a área da seção transversal do cilindro,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre as extremidades,
  • $ L $ é o comprimento do cilindro.

Passo 3

Como os comprimentos $ L $ e as diferenças de temperatura $ \Delta T $ são iguais para os dois cilindros, e as taxas de transferência de calor $ \dot{Q} $ também são iguais, podemos igualar as fórmulas para os materiais A e B:
L
Como $ L $ e $ \Delta T $ são iguais e não nulos, podemos simplificar a equação:
De

Passo 4

Agora, vamos relacionar as áreas das seções transversais dos cilindros. Sabemos que a área de um círculo é dada por $ A = \pi \cdot r^2 $, onde $ r $ é o raio. Como os diâmetros estão relacionados por $ d_A = 2 \cdot d_B $, os raios serão $ r_A = d_A / 2 = d_B $ e $ r_B = d_B / 2 $.
Calculando as áreas:
A = pi cdot r^2
r
Portanto, $ A_A = 4 \cdot A_B $.

Passo 5

Substituindo $ A_A = 4 \cdot A_B $ na equação $ k_A \cdot A_A = k_B \cdot A_B $:
AA = 4 cdot AB
Podemos dividir ambos os lados por $ A_B $ (que não é zero):
kA cdot AA = kB cdot AB

Passo 6

Isolando $ k_A $ para encontrar a relação entre as condutividades térmicas:
kA
Isso significa que a condutividade térmica do material A é um quarto da condutividade térmica do material B.

Resposta

A condutividade térmica do material A é um quarto da do material B, ou seja, $ k_A = \frac{1}{4} , k_B $.

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