Um automóvel de massa
acelera, partindo do repouso, enquanto o motor fornece uma potência constante
. (b) Mostrar que a posição em função do tempo é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um carro com massa $ m $ que está acelerando a partir do repouso, enquanto o motor fornece uma potência constante $ P $. Nosso objetivo aqui é mostrar que a posição do carro em função do tempo $ t $ é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potência, trabalho, energia e como eles se relacionam com movimento acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que potência $ P $ é a taxa com que o trabalho é realizado ou a energia é transferida. Matemáticamente, potência é:
Onde $ W $ é o trabalho.
Passo 3
O trabalho realizado para acelerar o carro é igual à variação da energia cinética. Como o carro parte do repouso, a energia cinética inicial é zero, então:
Onde $ v $ é a velocidade do carro.
Passo 4
Substituindo o trabalho na expressão da potência, temos:
Vamos derivar isso em relação ao tempo.
Passo 5
Derivando a expressão, obtemos:
Sabemos que $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração $ a $, então:
Passo 6
Sabemos também que $ a = \frac{dv}{dt} $ e $ v = \frac{dx}{dt} $. Vamos relacionar essas expressões para encontrar $ v $ em função de $ t $.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação de potência para isolarmos $ \frac{dv}{dt} $:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar $ v(t) $.
Passo 8
Separando as variáveis e integrando ambos os lados:
Integrando:
Como o carro parte do repouso, quando $ t = 0 $, $ v = 0 $, então $ C = 0 $. Assim:
Passo 9
Agora que temos $ v(t) $, podemos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
Como $ x(0) = 0 $, $ C’ = 0 $. Então:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que a posição em função do tempo é: