Um automóvel de massa m acelera, partindo do repouso, enquanto o motor fornece uma potência constante P. (b) Mostrar que a posição em função do tempo é dada por x=(8 P / 9 m)^1 / 2 t^3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um carro com massa $ m $ que está acelerando a partir do repouso, enquanto o motor fornece uma potência constante $ P $. Nosso objetivo aqui é mostrar que a posição do carro em função do tempo $ t $ é dada por:
m
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potência, trabalho, energia e como eles se relacionam com movimento acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que potência $ P $ é a taxa com que o trabalho é realizado ou a energia é transferida. Matemáticamente, potência é:
P
Onde $ W $ é o trabalho.

Passo 3

O trabalho realizado para acelerar o carro é igual à variação da energia cinética. Como o carro parte do repouso, a energia cinética inicial é zero, então:
W = De
Onde $ v $ é a velocidade do carro.

Passo 4

Substituindo o trabalho na expressão da potência, temos:
P = ddt ( 12 m v^2 )
Vamos derivar isso em relação ao tempo.

Passo 5

Derivando a expressão, obtemos:
P = m v dvdt
Sabemos que $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração $ a $, então:
dvdt

Passo 6

Sabemos também que $ a = \frac{dv}{dt} $ e $ v = \frac{dx}{dt} $. Vamos relacionar essas expressões para encontrar $ v $ em função de $ t $.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação de potência para isolarmos $ \frac{dv}{dt} $:
dvdt
Agora, temos uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar $ v(t) $.

Passo 8

Separando as variáveis e integrando ambos os lados:
v dv = Pm dt
Integrando:
integral v , dv = integral Pm , dt
12 v^2 = Pm t + C
Como o carro parte do repouso, quando $ t = 0 $, $ v = 0 $, então $ C = 0 $. Assim:
t = 0

Passo 9

Agora que temos $ v(t) $, podemos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
v(t)
x(t)
x(t) = integral v , dt = integral raiz2Pm t , dt
Como $ x(0) = 0 $, $ C’ = 0 $. Então:
x(t) = raiz2Pm integral t^12 , dt

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
x(t) = 23 cdot raiz2Pm cdot t^32 = ( 8P9m )^12 t^32

Resposta

Portanto, mostramos que a posição em função do tempo é:
x = ( 8P9m )^12 t^32

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