Uma haste leve e rígida, de comprimento I tem uma massa
ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. (a) Qual é a velocidade
no ponto mais baixo?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma haste leve e rígida, com comprimento $ I $, e uma massa $ m $ presa na extremidade, formando um pêndulo simples. A haste é invertida e depois lançada. A pergunta é: qual é a velocidade $ v $ da massa no ponto mais baixo do movimento?
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica, especificamente a conservação de energia. Precisaremos entender como a energia potencial e a energia cinética se relacionam nesse movimento para encontrar a velocidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no movimento do pêndulo. Quando a haste está invertida, a massa $ m $ está na posição mais alta, e toda a energia do sistema está armazenada como energia potencial gravitacional. À medida que a haste cai até o ponto mais baixo, a energia potencial é convertida em energia cinética, que é a energia do movimento.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial no ponto inicial (invertido). A energia potencial ($ E_p $) é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $),
- $ h $ é a altura.
Quando a haste está invertida, a massa está a uma altura de $ 2I $ em relação ao ponto mais baixo. Então:
Passo 4
No ponto mais baixo, toda essa energia potencial foi convertida em energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
onde $ v $ é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 5
Como a energia é conservada, podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética no ponto mais baixo:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação cancelando a massa $ m $ dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 7
Agora, para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A velocidade da massa no ponto mais baixo é $ v = 2\sqrt{I \cdot g} $.