Uma haste leve e rígida, de comprimento I tem uma massa m ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. (a) Qual é a velocidade v no ponto mais baixo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma haste leve e rígida, com comprimento $ I $, e uma massa $ m $ presa na extremidade, formando um pêndulo simples. A haste é invertida e depois lançada. A pergunta é: qual é a velocidade $ v $ da massa no ponto mais baixo do movimento?
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica, especificamente a conservação de energia. Precisaremos entender como a energia potencial e a energia cinética se relacionam nesse movimento para encontrar a velocidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no movimento do pêndulo. Quando a haste está invertida, a massa $ m $ está na posição mais alta, e toda a energia do sistema está armazenada como energia potencial gravitacional. À medida que a haste cai até o ponto mais baixo, a energia potencial é convertida em energia cinética, que é a energia do movimento.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial no ponto inicial (invertido). A energia potencial ($ E_p $) é dada por:
Ep
onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura.
Quando a haste está invertida, a massa está a uma altura de $ 2I $ em relação ao ponto mais baixo. Então:
Ep = m cdot g cdot h

Passo 4

No ponto mais baixo, toda essa energia potencial foi convertida em energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
Ec
onde $ v $ é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Como a energia é conservada, podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética no ponto mais baixo:
m cdot g cdot 2I = 12 m v^2

Passo 6

Podemos simplificar essa equação cancelando a massa $ m $ dos dois lados:
m
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
g cdot 2I = 12 v^2

Passo 7

Agora, para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
v

Resposta

A velocidade da massa no ponto mais baixo é $ v = 2\sqrt{I \cdot g} $.

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