Uma partícula de massa m descreve um círculo horizontal de raio r sobre uma mesa áspera. A partícula está presa por um fio horizontal ao centro do círculo. Inicialmente a velocidade é
. Depois de uma volta completa, a velocidade é
. (a) Calcular a energia dissipada pelo atrito em uma volta, em termos de
e r.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa m que está se movendo em um círculo horizontal de raio r sobre uma mesa que tem atrito. Ela está presa no centro por um fio horizontal. No começo, a velocidade dela é v₀ e, depois de dar uma volta completa, a velocidade dela cai para v₀/2. A gente precisa descobrir quanta energia foi dissipada pelo atrito nessa volta, usando m, v₀ e r. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e trabalho feito pelas forças de atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética (E_c) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
Aqui, m é a massa e v é a velocidade da partícula. No início, a velocidade é v₀, então a energia cinética inicial (E_ci) é:
Passo 3
Depois de uma volta, a velocidade da partícula diminui para v₀/2. Vamos calcular a energia cinética final (E_cf) com essa nova velocidade:
Passo 4
A energia dissipada pelo atrito é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia cinética final. Vamos calcular isso:
Passo 5
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Resposta
A energia dissipada pelo atrito em uma volta é
.