Um automóvel de massa m acelera, partindo do repouso, enquanto o motor fornece uma potência constante P.
a) Mostrar que a velocidade em função do tempo é dada por v=(2 P t / m)^1 / 2
b) Mostrar que a posição em função do tempo é dada por x=(8 P / 9 m)^1 / 2 t^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a velocidade e a posição de um automóvel de massa m que parte do repouso sob potência constante P. O conteúdo envolve potência em mecânica e integrações para obter v(t) e x(t). Vamos usar a relação P = F·v e depois integrar.

Passo 2

Para achar a velocidade v(t), note que P = F·v e F = m·a = m·dv/dt. Logo temos
P = m,v,dvdt
Separamos as variáveis:
m,v,dv = P,dt,
integrando de 0 a v e de 0 a t:
integral0^v m,v,dv = integral0^t P,dt ; Rightarrow; 12 m v^2 = P t
Daí
v(t) = raiz2P,tm

Passo 3

Para achar a posição x(t), integramos v(t):
x(t) = integral0^t v(t'),dt' = integral0^t raiz2Pm,t'^1/2,dt'
Como raiz2P/m é constante,
x(t) = raiz2Pmintegral0^t t'^1/2,dt' = raiz2Pmcdot 23t^3/2
Reescrevendo o fator:
x(t) = raiz8P9m;t^3/2

Resposta

v(t) = raiz2Pt/m, x(t) = raiz8P/(9m);t^3/2.

Exercícios relacionados