Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de X e Y e X, Y=X Y+Y X é o anticomutador de X e Y
f) [A B, C]=[A, C] B+A[B, C])

Passo 1

O exercício pede para provar a identidade envolvendo comutadores
Queremos mostrar que
[AB, C] = [A, C],B + A,[B, C]
O conteúdo é álgebra de operadores (ou matrizes) e vamos precisar usar a definição de comutador e manipular produtos de operadores.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de comutador: para quaisquer operadores X e Y temos
[X,Y] = X,Y - Y,X
Com isso, expandimos o lado esquerdo da identidade que queremos provar:
[AB, C] = (AB),C - C,(AB)

Passo 3

Agora reescrevemos o produto (AB)C usando a propriedade de comutador de B com C. Sabemos que
[B,C] = B,C - C,B Longrightarrow B,C = C,B + [B,C]
Então
(AB),C = A,(B,C) = Al(C,B + [B,C]r) = A,C,B + A,[B,C]

Passo 4

De modo análogo, reescrevemos C(AB) usando a definição de comutador de A com C. Como
[A,C] = A,C - C,A Longrightarrow C,A = A,C - [A,C],
segue que
C,(AB) = (C,A)B = l(A,C - [A,C]r)B = A,C,B - [A,C],B

Passo 5

Agora basta subtrairmos as duas expressões que obtivemos para (AB)C e para C(AB). Temos:
[AB,C] = (AB),C - C,(AB) = l(A,C,B + A,[B,C]r) - l(A,C,B - [A,C],Br) = [A,C],B + A,[B,C]

Passo 6

Portanto, chegamos exatamente à identidade desejada.

Resposta

A identidade está provada: [AB,C] = [A,C] B + A [B,C].

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