Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de
e
e
é o anticomutador de
e
f) [A B, C]=[A, C] B+A[B, C])
Passo 1
O exercício pede para provar a identidade envolvendo comutadores
Queremos mostrar que
O conteúdo é álgebra de operadores (ou matrizes) e vamos precisar usar a definição de comutador e manipular produtos de operadores.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de comutador: para quaisquer operadores X e Y temos
Com isso, expandimos o lado esquerdo da identidade que queremos provar:
Passo 3
Agora reescrevemos o produto
usando a propriedade de comutador de B com C. Sabemos que
Então
Passo 4
De modo análogo, reescrevemos
usando a definição de comutador de A com C. Como
segue que
Passo 5
Agora basta subtrairmos as duas expressões que obtivemos para
e para
. Temos:
Passo 6
Portanto, chegamos exatamente à identidade desejada.
Resposta
A identidade está provada: [AB,C] = [A,C] B + A [B,C].