Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de
e
e
é o anticomutador de
e
d) [A+B, C]=[A, C]+[B, C])
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o comutador é linear na primeira entrada, ou seja, provar que
. Estamos no contexto de operadores (ou matrizes) e vamos usar a definição de comutador e a propriedade distributiva do produto de operadores.
Passo 2
Pela definição de comutador, temos:
Passo 3
Usamos a distributividade do produto sobre a soma para expandir cada termo:
Passo 4
Substituindo essas expansões na expressão de
, obtemos:
Passo 5
Agora é só agrupar termos semelhantes:
E reconhecer que cada par é um comutador:
Passo 6
Portanto concluímos que:
Resposta
[A+B, C] = [A, C] + [B, C]