Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de X e Y e X, Y=X Y+Y X é o anticomutador de X e Y
d) [A+B, C]=[A, C]+[B, C])

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o comutador é linear na primeira entrada, ou seja, provar que [A+B, C] = [A, C] + [B, C]. Estamos no contexto de operadores (ou matrizes) e vamos usar a definição de comutador e a propriedade distributiva do produto de operadores.

Passo 2

Pela definição de comutador, temos:
[A+B, C] = (A + B) cdot C - C cdot (A + B)

Passo 3

Usamos a distributividade do produto sobre a soma para expandir cada termo:
(A + B) cdot C = A cdot C + B cdot C
C cdot (A + B) = C cdot A + C cdot B

Passo 4

Substituindo essas expansões na expressão de [A+B, C], obtemos:
[A + B, C] = A cdot C + B cdot C - l(C cdot A + C cdot Br)

Passo 5

Agora é só agrupar termos semelhantes:
[A + B, C] = (A cdot C - C cdot A) + (B cdot C - C cdot B)
E reconhecer que cada par é um comutador:
A cdot C - C cdot A = [A, C]
B cdot C - C cdot B = [B, C]

Passo 6

Portanto concluímos que:
[A+B, C] = [A, C] + [B, C]

Resposta

[A+B, C] = [A, C] + [B, C]

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