Uma haste leve e rígida, de comprimento / tem uma massa m ligada à extremidade, formando um pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. Quais são:
a) a velocidade v no ponto mais baixo;
b) a tração T, na suspensão, naquele instante?
c) A que ângulo da vertical a tração na suspensão será igual ao peso?

Passo 1

Temos um pêndulo simples formado por uma haste leve e rígida de comprimento ell com uma massa m na extremidade. A haste é inicialmente invertida (ângulo de 180° em relação à vertical) e solta, fazendo a massa descer até o ponto mais baixo. Vamos usar: conservação de energia mecânica para achar a velocidade; dinâmica de movimento circular para a tração; e combinação dessas ideias para o item ©.

Passo 2

A diferença de altura entre a posição invertida e o ponto mais baixo é de 2ell. Pela conservação da energia mecânica, a perda de energia potencial vira energia cinética:
De
Logo,
v = raiz2g,(2ell) = 2raizgell

Passo 3

No ponto mais baixo temos movimento circular uniforme instantâneo, e a força centrípeta é fornecida pela tração menos o peso. Pela segunda lei de Newton no sentido radial:
T - mg = m,v^2ell
Substituindo v^2 = 4gell:
T = mg + m,4gellell = mg + 4mg = 5,mg

Passo 4

Para um ângulo genérico theta contado da vertical, primeiro calculamos a velocidade por conservação de energia do topo até theta. A queda de altura é
De
Logo
m g,ell(1 + costheta) = tfrac12 m v^2 implies v^2 = 2gell(1 + costheta)
A segunda lei no radial agora é
T - mgcostheta = m,v^2ell = m,2gell(1 + costheta)ell = 2mg(1 + costheta)
Assim
T = mgcostheta + 2mg(1 + costheta) = mg(2 + 3costheta)

Passo 5

Para achar o ângulo em que T = mg, impomos
2 + 3costheta = 1 Longrightarrow 3costheta = -1 Longrightarrow costheta = -tfrac13
Portanto
theta = arccosl(-tfrac13r)

Resposta

a) v = 2raizgell. b) T = 5,mg. c) theta = arccosl(-tfrac13r).

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