A expressão é a diferença entre x e a raiz cúbica de x^{3}-x.
O ponto de interesse é x\to+\infty.
O que está claro desde já: quando x\to+\infty tanto x quanto \sqrt[3]{x^{3}-x} tendem a +\infty, portanto a expressão é do tipo “\infty-\infty”, uma forma indeterminada. Isso pede uma manipulação algébrica ou o uso de uma regra (como L’Hôpital) depois de transformar a expressão em uma razão adequada.
Passo 2
Uma técnica padrão para diferenças com raízes cúbicas é “racionalizar” usando a identidade de diferença de cubos:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}.
Vamos aplicar com a=x e b=\sqrt[3]{x^{3}-x}. Note que
pois \dfrac{1}{x}\to0. Concluímos que o limite é 0.
Passo 5
(Usando L’Hôpital onde é possível.) Depois da racionalização obtivemos a forma
\frac{x}{x^{2}+x b + b^{2}},
onde b=\sqrt[3]{x^{3}-x}. Para x\to+\infty o numerador e o denominador tendem a +\infty, ou seja temos uma forma \infty/\infty. Logo é possível aplicar a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador: 1.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+xb+b^{2}\bigr)=2x + b + x b' + 2 b b',
mostrando que a diferença tende a 0 com ordem 1/x e coeficiente principal 1/3. (Isso confirma e dá mais informação sobre a velocidade com que o limite vai a zero.)