Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença entre x e a raiz cúbica de x^{3}-x.
  • O ponto de interesse é x\to+\infty.
O que está claro desde já: quando x\to+\infty tanto x quanto \sqrt[3]{x^{3}-x} tendem a +\infty, portanto a expressão é do tipo “ \infty-\infty”, uma forma indeterminada. Isso pede uma manipulação algébrica ou o uso de uma regra (como L’Hôpital) depois de transformar a expressão em uma razão adequada.

Passo 2

Uma técnica padrão para diferenças com raízes cúbicas é “racionalizar” usando a identidade de diferença de cubos:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}.
Vamos aplicar com a=x e b=\sqrt[3]{x^{3}-x}. Note que
a^{3}-b^{3}=x^{3}-\bigl(x^{3}-x\bigr)=x.
Logo,
x-\sqrt[3]{x^{3}-x}=\frac{x}{\,x^{2}+x\sqrt[3]{x^{3}-x}+\bigl(\sqrt[3]{x^{3}-x}\bigr)^{2}\,}.
Agora transformamos a diferença \infty-\infty numa razão mais amigável para estudar o limite.

Passo 3

Analisar o limite da razão obtida:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+x\sqrt[3]{x^{3}-x}+\bigl(\sqrt[3]{x^{3}-x}\bigr)^{2}}.
Para estudar o comportamento quando x\to+\infty é conveniente dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência aparente):
\frac{x}{x^{2}+x b + b^{2}} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x b}{x^{2}}+\dfrac{b^{2}}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{b}{x}+\left(\dfrac{b}{x}\right)^{2}},
onde para abreviar escrevi b=\sqrt[3]{x^{3}-x}.

Passo 4

Agora precisamos do comportamento de \dfrac{b}{x} quando x\to+\infty. Note que
\frac{b}{x}=\frac{\sqrt[3]{x^{3}-x}}{x}=\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^{2}}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}1,
pois \dfrac{1}{x^{2}}\to0 e \sqrt[3]{1+u}\to1 quando u\to0.
Portanto o denominador em
\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{b}{x}+\left(\dfrac{b}{x}\right)^{2}}
tende a 1+1+1=3. Assim a razão inteira tende a
\frac{0}{3}=0,
pois \dfrac{1}{x}\to0. Concluímos que o limite é 0.

Passo 5

(Usando L’Hôpital onde é possível.) Depois da racionalização obtivemos a forma
\frac{x}{x^{2}+x b + b^{2}},
onde b=\sqrt[3]{x^{3}-x}. Para x\to+\infty o numerador e o denominador tendem a +\infty, ou seja temos uma forma \infty/\infty. Logo é possível aplicar a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador: 1.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+xb+b^{2}\bigr)=2x + b + x b' + 2 b b',
onde
b'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-x\bigr)^{1/3}=\frac{1}{3}\bigl(x^{3}-x\bigr)^{-2/3}\,(3x^{2}-1) =\frac{3x^{2}-1}{3\,(x^{3}-x)^{2/3}}.
Assim, pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+x b + b^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\,2x + b + x b' + 2 b b'\,}.
Para obter o valor desse limite basta observar os comportamentos:
\frac{b}{x}\to1,\qquad b'\to1\quad\text{quando }x\to+\infty,
portanto o denominador acima tem comportamento assintótico \sim 6x quando x\to+\infty, e assim
\frac{1}{\,2x + b + x b' + 2 b b'\,}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.
Resultado consistente com a análise algébrica do Passo 4: o limite é 0.

Passo 6

Para ter uma ideia mais refinada (útil em provas para estimar ordem) pode-se fazer uma expansão: escrevendo
\sqrt[3]{x^{3}-x}=x\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^{2}}}=x\left(1-\frac{1}{3x^{2}}+O\!\left(\frac{1}{x^{4}}\right)\right)=x-\frac{1}{3x}+O\!\left(\frac{1}{x^{3}}\right).
x-\sqrt[3]{x^{3}-x}=\frac{1}{3x}+O\!\left(\frac{1}{x^{3}}\right),
mostrando que a diferença tende a 0 com ordem 1/x e coeficiente principal 1/3. (Isso confirma e dá mais informação sobre a velocidade com que o limite vai a zero.)

Resposta

0

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