Um automóvel tem massa de 1500 kg . Qual é a incerteza na velocidade (em milhas por hora) quando seu centro de massa é localizado com uma incerteza não maior que 1 cm ?

Passo 1

O enunciado pede a incerteza na velocidade (em milhas por hora) de um automóvel cuja massa e incerteza na posição do centro de massa são dadas. Informações fornecidas:
  • massa do automóvel: m=1500\\ \mathrm{kg},
  • incerteza máxima na posição do centro de massa: \Delta x \le 1\\ \mathrm{cm}.
Pergunta a responder:
  • Qual é a incerteza mínima em velocidade \Delta v correspondente a \Delta x = 1\\ \mathrm{cm}, expressa em milhas por hora?

Passo 2

Que princípio físico usar e por quê (explicação didática).
Uma maneira padrão de relacionar incerteza de posição com incerteza de velocidade é usar o princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao momento linear. Esse princípio diz que não é possível conhecer simultaneamente a posição e o momento com precisão arbitrária: existe um limite fundamental que envolve a constante de Planck reduzida \hbar.
A forma matemática da desigualdade de Heisenberg (a versão usual) é
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta x é a incerteza na posição (em metros),
  • \Delta p é a incerteza no momento linear (em kg·m/s),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar=\dfrac{h}{2\pi}, com h a constante de Planck.
Relação entre momento e velocidade:
p=m v \quad\Rightarrow\quad \Delta p \approx m\,\Delta v,
quando a massa m é conhecida com boa precisão (isto é razoável aqui: a massa do carro é macroscópica e considerada conhecida). Assim podemos transformar a desigualdade em uma estimativa para \Delta v:
\Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m\,\Delta x}.
Observação didática curta: essa desigualdade dá um limite fundamental (mesmo no melhor caso a incerteza em velocidade não pode ser menor que esse valor). Para estados quânticos ideais (gaussianos) atinge-se a igualdade, mas para o nosso cálculo de ordem de grandeza usar a forma \ge é suficiente.

Passo 3

Substituir números e calcular \Delta v em metros por segundo.
Valores que vamos usar:
  • constante de Planck reduzida (valor numérico):
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • massa:
m=1500\\ \mathrm{kg}.
  • incerteza de posição (convertida para metros; peguei isto do enunciado):
\Delta x = 1\\ \mathrm{cm} = 0,01\\ \mathrm{m}.
Aplicando a fórmula:
\Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m\,\Delta x} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{2\cdot1500\cdot0,01}\\ \mathrm{m/s}.
Calcule o denominador:
2\cdot1500\cdot0,01 = 30.
Portanto
\Delta v \ge \frac{1,054571817\times10^{-34}}{30} = 3,51523939\times10^{-36}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: essa velocidade é absurdamente pequena — muito, muito menor do que qualquer praticável em escala macroscópica.

Passo 4

Converter \Delta v de metros por segundo para milhas por hora.
Fator de conversão:
1\\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h} \quad\text{e}\quad 1\\ \mathrm{km}=0,621371\\ \mathrm{mi},
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1\\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\times0{,}621371\\ \mathrm{mph} = 2{,}236936292\\ \mathrm{mph}.
Multiplicando:
\Delta v \ge 3,51523939\times10^{-36}\\ \mathrm{m/s}\times 2{,}236936292\\ \frac{\mathrm{mph}}{\mathrm{m/s}} = 7,8659\times10^{-36}\\ \mathrm{mph}.
Arredondando sensivelmente (duas casas significativas, dado que o valor é uma ordem de grandeza):
\Delta v \gtrsim 7{,}9\times10^{-36}\\ \mathrm{mph}.

Passo 5

Resumo didático-final e comentário motivador.
  • A incerteza quântica mínima na velocidade do automóvel, associada a uma incerteza de posição de 1\\ \mathrm{cm}, é da ordem de 10^{-36}\\ \mathrm{mph}. Isso mostra que efeitos quânticos são completamente desprezíveis para objetos macroscópicos como carros — a incerteza é infinitamente menor que qualquer flutuação prática.
  • Em provas: para problemas assim, lembre-se da cadeia: princípio de Heisenberg \Rightarrow \Delta x\Delta p\ge\hbar/2 \Rightarrow p=m v \Rightarrow \Delta v\ge\hbar/(2m\Delta x). Sempre converta unidades antes de calcular e depois coloque na unidade pedida.

Resposta

7{,}9\times10^{-36}\\ \mathrm{mph}

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