Um automóvel tem massa de 1500 kg . Qual é a incerteza na velocidade (em milhas por hora) quando seu centro de massa é localizado com uma incerteza não maior que 1 cm ?
Passo 1
O enunciado pede a incerteza na velocidade (em milhas por hora) de um automóvel cuja massa e incerteza na posição do centro de massa são dadas. Informações fornecidas:
- massa do automóvel:
, - incerteza máxima na posição do centro de massa:
.
Pergunta a responder:
- Qual é a incerteza mínima em velocidade
correspondente a , expressa em milhas por hora?
Passo 2
Que princípio físico usar e por quê (explicação didática).
Uma maneira padrão de relacionar incerteza de posição com incerteza de velocidade é usar o princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao momento linear. Esse princípio diz que não é possível conhecer simultaneamente a posição e o momento com precisão arbitrária: existe um limite fundamental que envolve a constante de Planck reduzida .
Uma maneira padrão de relacionar incerteza de posição com incerteza de velocidade é usar o princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao momento linear. Esse princípio diz que não é possível conhecer simultaneamente a posição e o momento com precisão arbitrária: existe um limite fundamental que envolve a constante de Planck reduzida
A forma matemática da desigualdade de Heisenberg (a versão usual) é
onde:
-
é a incerteza na posição (em metros), -
é a incerteza no momento linear (em kg·m/s), -
é a constante de Planck reduzida, , com a constante de Planck.
Relação entre momento e velocidade:
quando a massa
é conhecida com boa precisão (isto é razoável aqui: a massa do carro é macroscópica e considerada conhecida). Assim podemos transformar a desigualdade em uma estimativa para
:
Observação didática curta: essa desigualdade dá um limite fundamental (mesmo no melhor caso a incerteza em velocidade não pode ser menor que esse valor). Para estados quânticos ideais (gaussianos) atinge-se a igualdade, mas para o nosso cálculo de ordem de grandeza usar a forma
é suficiente.
Passo 3
Substituir números e calcular
em metros por segundo.
Valores que vamos usar:
- constante de Planck reduzida (valor numérico):
- massa:
- incerteza de posição (convertida para metros; peguei isto do enunciado):
Aplicando a fórmula:
Calcule o denominador:
Portanto
Interpretação curta: essa velocidade é absurdamente pequena — muito, muito menor do que qualquer praticável em escala macroscópica.
Passo 4
Converter
de metros por segundo para milhas por hora.
Fator de conversão:
logo
Multiplicando:
Arredondando sensivelmente (duas casas significativas, dado que o valor é uma ordem de grandeza):
Passo 5
Resumo didático-final e comentário motivador.
- A incerteza quântica mínima na velocidade do automóvel, associada a uma incerteza de posição de
, é da ordem de . Isso mostra que efeitos quânticos são completamente desprezíveis para objetos macroscópicos como carros — a incerteza é infinitamente menor que qualquer flutuação prática. - Em provas: para problemas assim, lembre-se da cadeia: princípio de Heisenberg
. Sempre converta unidades antes de calcular e depois coloque na unidade pedida.