O Autorama ou Automodelismo de Fenda é um tipo de modelismo profissional ou amador em que carros movidos a eletricidade ou a pilha competem em pistas especialmente fabricadas para o esporte ou o entretenimento. Em uma competição hipotética, dois carrinhos NP e AS irão competir em pistas circulares concêntricas. O carrinho NP encontra-se na pista de raio R e desenvolve uma velocidade linear de módulo V constante, ao passo que o carrinho AS , na pista de raio
, desenvolve uma velocidade linear de módulo 2 V constante. Os carrinhos iniciam a corrida alinhados e voltam a se alinhar pela primeira vez após 2 s do início da corrida. Por alinhado, entenda-se que o raio vetor com origem em
e extremidade em NP e o raio vetor com origem em
e extremidade em AS têm mesmas direção e sentido. 0 instante, em segundos, em que os carrinhos voltam a se encontrar pela terceira vez é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois carrinhos em pistas circulares concêntricas. O carrinho NP está numa pista com raio
e vai a uma velocidade linear de
. Já o carrinho AS está numa pista maior, com raio
, e vai a uma velocidade de
. Eles começam juntos e se alinham de novo pela primeira vez depois de 2 segundos. A gente quer saber em que tempo eles vão se alinhar pela terceira vez.
Vamos precisar usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e período de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade angular de cada carrinho. A velocidade angular
é relacionada com a velocidade linear
pela fórmula:
Para o carrinho NP:
Para o carrinho AS, que tem velocidade
e raio
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os períodos de rotação de cada carrinho. O período
é o tempo que o carrinho leva para completar uma volta. Está relacionado com a velocidade angular pela fórmula:
Para o carrinho NP:
Para o carrinho AS:
Passo 4
Sabemos que eles se alinharam novamente após 2 segundos. Isso significa que a diferença entre os tempos que eles levam para dar uma volta completa deve levar a esse alinhamento. Vamos considerar que, após 2 segundos, a diferença nos ângulos percorridos por cada carrinho seja múltiplo de
.
A condição de alinhamento é:
Para o primeiro alinhamento após
segundos,
.
Substituindo as velocidades angulares:
Resolvendo para
e
:
Multiplicando tudo por
para eliminar denominadores:
Simplificando:
Como estamos tratando de velocidades positivas, isso indica que o valor absoluto de
é
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o tempo em que eles se alinham pela terceira vez. Isso significa que precisamos encontrar um tempo
em que a diferença de ângulos seja
(já que já alinharam uma vez em
segundos).
Usando a mesma condição:
Substituindo os valores de
:
Sabendo que
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Como o tempo não pode ser negativo, isso indica que houve um erro na consideração dos múltiplos. Vamos reavaliar.
Passo 6
Vamos usar a relação proporcional dos períodos para encontrar quando se alinham novamente. A frequência com que eles se alinham é dada pela diferença de suas frequências angulares.
A frequência de alinhamento é:
O período de alinhamento
é:
Substituindo
:
Isso confirma que eles se alinham a cada 2 segundos. Já que se alinham pela primeira vez aos 2 segundos, pela segunda aos 4 segundos, e pela terceira aos 6 segundos.
Resposta
O terceiro alinhamento ocorre aos 6 segundos.