O Autorama ou Automodelismo de Fenda é um tipo de modelismo profissional ou amador em que carros movidos a eletricidade ou a pilha competem em pistas especialmente fabricadas para o esporte ou o entretenimento. Em uma competição hipotética, dois carrinhos NP e AS irão competir em pistas circulares concêntricas. O carrinho NP encontra-se na pista de raio R e desenvolve uma velocidade linear de módulo V constante, ao passo que o carrinho AS , na pista de raio 1,5 R, desenvolve uma velocidade linear de módulo 2 V constante. Os carrinhos iniciam a corrida alinhados e voltam a se alinhar pela primeira vez após 2 s do início da corrida. Por alinhado, entenda-se que o raio vetor com origem em O e extremidade em NP e o raio vetor com origem em O e extremidade em AS têm mesmas direção e sentido. 0 instante, em segundos, em que os carrinhos voltam a se encontrar pela terceira vez é

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois carrinhos em pistas circulares concêntricas. O carrinho NP está numa pista com raio e vai a uma velocidade linear de . Já o carrinho AS está numa pista maior, com raio , e vai a uma velocidade de . Eles começam juntos e se alinham de novo pela primeira vez depois de 2 segundos. A gente quer saber em que tempo eles vão se alinhar pela terceira vez.
Vamos precisar usar conceitos de movimento circular, como velocidade angular e período de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular de cada carrinho. A velocidade angular omega = VR é relacionada com a velocidade linear omegaNP = VR pela fórmula:
omegaAS = 2V1,5R = 4V3R
Para o carrinho NP:
Para o carrinho AS, que tem velocidade e raio :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os períodos de rotação de cada carrinho. O período T = 2piomega é o tempo que o carrinho leva para completar uma volta. Está relacionado com a velocidade angular pela fórmula:
TNP = 2piomegaNP = 2pi RV
Para o carrinho NP:
TAS = 2piomegaAS = 2pi cdot 3R4V = 3pi R2V
Para o carrinho AS:

Passo 4

Sabemos que eles se alinharam novamente após 2 segundos. Isso significa que a diferença entre os tempos que eles levam para dar uma volta completa deve levar a esse alinhamento. Vamos considerar que, após 2 segundos, a diferença nos ângulos percorridos por cada carrinho seja múltiplo de omegaNP cdot t = omegaAS cdot t + 2kpi .
A condição de alinhamento é:
VR cdot 2 = 4V3R cdot 2 + 2pi
Para o primeiro alinhamento após 2VR = 8V3R + 2pi segundos, 6V = 8V + 6pi R .
Substituindo as velocidades angulares:
-2V = 6pi R implies V = -3pi R
Resolvendo para e :
Multiplicando tudo por para eliminar denominadores:
Simplificando:
Como estamos tratando de velocidades positivas, isso indica que o valor absoluto de é .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o tempo em que eles se alinham pela terceira vez. Isso significa que precisamos encontrar um tempo omegaNP cdot t = omegaAS cdot t + 4pi em que a diferença de ângulos seja VR cdot t = 4V3R cdot t + 4pi (já que já alinharam uma vez em 3pi RR cdot t = 4 cdot 3pi R3R cdot t + 4pi segundos).
Usando a mesma condição:
3pi t = 4pi t + 4pi
Substituindo os valores de - pi t = 4pi implies t = -4 :
Sabendo que :
Simplificando:
Resolvendo para :
Como o tempo não pode ser negativo, isso indica que houve um erro na consideração dos múltiplos. Vamos reavaliar.

Passo 6

Vamos usar a relação proporcional dos períodos para encontrar quando se alinham novamente. A frequência com que eles se alinham é dada pela diferença de suas frequências angulares.
A frequência de alinhamento é:
f = omegaNP - omegaAS = VR - 4V3R = -V3R
O período de alinhamento Ta = 2pi|omegaNP - omegaAS| = 2piV3R = 6pi RV é:
Ta = 6pi R3pi R = 2 , segundos
Substituindo :
Isso confirma que eles se alinham a cada 2 segundos. Já que se alinham pela primeira vez aos 2 segundos, pela segunda aos 4 segundos, e pela terceira aos 6 segundos.

Resposta

O terceiro alinhamento ocorre aos 6 segundos.

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