Considere uma partícula de massa m largada do repouso a uma altura y máx =há do solo.
Qual é a velocidade da partícula ao atingir o ponto C da trajetória sobre o plano inclinado? Ela é igual, maior, ou menor do que àquela com a qual ela chega ao ponto B na situação (a)? Porque esta velocidade não depende explicitamente do ângulo theta / comprimento da trajetória AC?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa m que é largada do repouso de uma altura h acima do chão. Queremos descobrir qual é a velocidade dela quando ela chega ao ponto C no plano inclinado. Além disso, precisamos comparar essa velocidade com a velocidade no ponto B na situação (a) e entender por que essa velocidade não depende diretamente do ângulo θ ou do comprimento da trajetória AC. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia potencial e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a partícula está no ponto mais alto, na altura h, ela tem energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética, já que está em repouso. A energia potencial é dada por:
Epot = m cdot g cdot h
onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²).

Passo 3

Quando a partícula desce até o ponto C, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia cinética é dada por:
Ecin = 12 cdot m cdot v^2
onde v é a velocidade da partícula no ponto C.

Passo 4

De acordo com o princípio da conservação da energia mecânica, a energia total do sistema permanece constante se não houver perdas (como atrito). Portanto, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
m cdot g cdot h = 12 cdot m cdot v^2

Passo 5

Podemos simplificar essa equação cancelando a massa m de ambos os lados:
g cdot h = 12 cdot v^2

Passo 6

Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por 2:
2 cdot g cdot h = v^2

Passo 7

Para encontrar v, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz2 cdot g cdot h

Passo 8

Então, a velocidade da partícula ao atingir o ponto C é:
v = raiz2gh

Passo 9

Agora, comparando com a velocidade no ponto B na situação (a), que também seria calculada da mesma forma usando a altura h, percebemos que as velocidades são iguais. Isso porque a transformação de energia depende apenas da diferença de altura, não do caminho percorrido.

Passo 10

A razão pela qual a velocidade não depende explicitamente do ângulo θ ou do comprimento da trajetória AC é que, na conservação da energia, apenas a variação na altura influencia a velocidade final. O ângulo ou o comprimento do trajeto podem afetar o tempo que a partícula leva para chegar ao ponto C, mas não a velocidade final, desde que não haja perdas de energia.

Resposta

A velocidade da partícula ao atingir o ponto C é v = raiz2gh. Essa velocidade é igual à com a qual ela chega ao ponto B na situação (a). Isso ocorre porque a velocidade depende apenas da altura h de onde a partícula foi largada e não do ângulo θ ou do comprimento da trajetória AC.

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