Considere uma partícula de massa m largada do repouso a uma altura y máx =há do solo.
Considere agora esta mesma partícula de massa m liberada para deslizar para baixo ao longo de um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo theta com a horizontal. Obtenha, a partir do princípio da conservação da energia, a velocidade escalar v(x) da partícula para qualquer ponto a uma distância x sobre a trajetória AC sobre o plano inclinado da figura. Mostre que o resultado é idêntico àquele obtido a partir da aplicação da 2^a lei de Newton e das equações horárias do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa $ m $ que é largada do repouso de uma altura máxima $ y_{máx} = h $ em relação ao solo. Depois, essa mesma partícula desliza para baixo por um plano inclinado sem atrito que faz um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Nosso objetivo é encontrar a velocidade $ v(x) $ da partícula em qualquer ponto $ x $ ao longo do plano inclinado usando o princípio da conservação da energia. Além disso, temos que mostrar que esse resultado é o mesmo que obteríamos usando a segunda lei de Newton e as equações do movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial, energia cinética e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da conservação da energia. Esse princípio diz que, em um sistema isolado, a energia total permanece constante. No nosso caso, a energia potencial gravitacional que a partícula tem no início vai se converter em energia cinética conforme ela desce o plano inclinado.
A energia potencial inicial da partícula quando está na altura $ h $ é:
h ê
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Conforme a partícula desce o plano inclinado, ela ganha velocidade, ou seja, ganha energia cinética. A energia cinética em um ponto qualquer $ x $ é:
x é
Nosso objetivo é encontrar $ v(x) $, então precisamos relacionar a energia potencial perdida com a energia cinética ganha.

Passo 4

Como não há atrito, toda a energia potencial perdida vai se transformar em energia cinética. Assim, podemos escrever:
Epotência inicial = Ecinética êé
Substituindo as expressões:
m cdot g cdot h = 12 m v(x)^2

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ v(x) $. Primeiro, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados:
v(x)
Multiplicando ambos os lados por 2:
m
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
g cdot h = 12 v(x)^2

Passo 6

Mas precisamos relacionar $ h $ com a distância $ x $ ao longo do plano inclinado. Sabemos que $ h = x \cdot \sin(\theta) $ porque $ h $ é a componente vertical da distância $ x $. Substituindo:
h

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer ponto a uma distância $ x $ ao longo do plano inclinado é:
x

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