lambda=4 é autovalor de [rrr3 & 0 & -1 2 & 3 & 1 -3 & 4 & 5] ? Caso seja, determine um autovetor associado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se lambda=4 é autovalor da matriz
A= 3 & 0 & -1 2 & 3 & 1 -3 & 4 & 5
e, em caso afirmativo, encontrar um autovetor não-nulo associado. Para isso, vamos calcular det(A-4I) e, se for zero, resolver o sistema (A-4I)v=0.

Passo 2

Calculamos
A - 4I = 3-4 & 0 & -1 2 & 3-4 & 1 -3 & 4 & 5-4 = -1 & 0 & -1 2 & -1 & 1 -3 & 4 & 1

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira linha:
det(A-4I) = -1cdotdet-1 & 1 4 & 1 -0cdotl(cdotsr) +(-1)cdotdet2 & -1 -3 & 4
Calculamos
-1l((-1)cdot1 - 1cdot4r) +(-1)l(2cdot4 -(-1)cdot(-3)r) = -1(-5) +(-1)(8-3) = 5 - 5 = 0
Como det(A-4I)=0, lambda=4 é de fato autovalor.

Passo 4

Resolvemos
Da primeira equação . Logo o espaço próprio é gerado por
Podemos escolher para obter um autovetor simples.

Resposta

Sim, lambda=4 é autovalor de A. Um autovetor associado é
-1 -1 1

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