Mostre que
é autovalor de
se e somente se
for autovalor de
. [Sugestão: Descubra como
e
estão relacionadas.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um número
é autovalor de uma matriz quadrada
se, e somente se,
também é autovalor de
. Aqui vamos usar a definição de autovalor via polinômio característico, isto é,
além da propriedade fundamental de determinantes
Passo 2
Observe que
pois
e a transposta preserva soma e multiplicação escalar.
Passo 3
Pela propriedade de determinantes de matrizes transpostas, temos
Passo 4
Logo,
se, e somente se,
.
Pela definição de autovalor, isso mostra exatamente que
Pela definição de autovalor, isso mostra exatamente que
Resposta
Portanto,
é autovalor de
se e somente se
for autovalor de
.