Mostre que lambda é autovalor de A se e somente se lambda for autovalor de A^T. [Sugestão: Descubra como A-lambda I e A^T-lambda I estão relacionadas.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um número lambda é autovalor de uma matriz quadrada A se, e somente se, lambda também é autovalor de A^T. Aqui vamos usar a definição de autovalor via polinômio característico, isto é,
lambda é autovalor de ALong<=ftrightarrowdetl(A-lambda Ir)=0, é
além da propriedade fundamental de determinantes
detl(M^Tr)=det(M)

Passo 2

Observe que
A^T-lambda I = l(A-lambda Ir)^T,
pois I^T=I e a transposta preserva soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Pela propriedade de determinantes de matrizes transpostas, temos
detl(A^T-lambda Ir) =detl((A-lambda I)^Tr) =detl(A-lambda Ir)

Passo 4

Logo,
detl(A-lambda Ir)=0 se, e somente se,
detl(A^T-lambda Ir)=0.
Pela definição de autovalor, isso mostra exatamente que
lambda é autovalor de A Long<=ftrightarrow lambda é autovalor de A^T éé

Resposta

Portanto, lambda é autovalor de A se e somente se lambda for autovalor de A^T.

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