Encontre os autovalores da matriz [rrr0 & 0 & 0 0 & 3 & 4 0 & 0 & -2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 4 0 & 0 & -2
e pede para encontrar os autovalores. O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico e uso da propriedade de que uma matriz triangular tem autovalores iguais às entradas da diagonal.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
chi(lambda) = det(A - lambda I)
Calculando A - lambda I:
A - lambda I = 0-lambda & 0 & 0 0 & 3-lambda & 4 0 & 0 & -2-lambda = -lambda & 0 & 0 0 & 3-lambda & 4 0 & 0 & -2-lambda

Passo 3

Como A-lambda I é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
chi(lambda) = (-lambda),(3-lambda),(-2-lambda)
Para encontrar os autovalores, resolvemos chi(lambda)=0, ou seja,
(-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)=0

Passo 4

As raízes da equação são os valores de lambda que anulam cada fator:
-lambda = 0 implies lambda=0, 3-lambda = 0 implies lambda=3, -2-lambda = 0 implies lambda=-2

Resposta

Os autovalores de A são lambda = 0, lambda = 3 e lambda = -2.

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